课题：曲线上一点处的切线

执教：万赢银 2019年12月5日

教材：《普通高中课程标准实验教科书-数学（选修2-2）》 江苏教育出版社

【教学目标】

本节课教学目标的制定基于提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

(一)知识方面

理解曲线在一点处的切线的概念；理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法；掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法.

(二)能力方面

培养学生从实际问题中去发现问题的能力，以及转化的数学思想；培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力.

(三)情感方面

培养学生主动探索，勇于发现的科学性精神；“局部以直代曲”的教学中引导学生体会“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理；通过对复杂曲线切线的定义与已有圆锥曲线切线定义的对比培养学生科学求实的精神，培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质.

【教学重点】了解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法.

【教学难点】

理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解.

【教学方法】

（1）教法：启发诱导、问题驱动.

（2）学法：自主体验、归纳生成、抽象概括、合作交流、自主探究、反思总结.

【教材分析】

本章“导数及其应用”意图促进学生全面认识数学的价值，促使学生是对变量数学的思想方法产生新的感悟. 本章的学习将进一步发展学生的思维能力，为进一步学习微积分打好基础，“导数的应用”部分数学内部提供了研究函数性质的一般方法，实际生活则提供了解决优化问题的策略. 本节课的教学内容为导数模型的建立和感受微积分基本思想提供了源自数学内部的背景. 其中“局部以直代曲”的思想则是微积分的核心所在，教材从“放大图形”的朴素方法到“无限逼近”的极限观点逐层深入的理解这一辨证思想，并用数值逼近帮助深化理解.

【学情分析】 本节课的授课对象是高二年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望．他们经过一年多的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础．

【教学过程】

1、 引言

天圆地方：是古代科学对宇宙的认识，是我国先哲们认识世界的思维方式．天圆地方哲学思想观对中华文化影响之深远，以至今天我们的很多传统习俗，和人民的生活习惯都离不开它的影响．

= 1 \* GB3 ①建筑哲学：中国传统的建筑，更是讲究天圆地方．如明清时期在北京修建的天坛和地坛就是遵循天圆地方原则修建的；民宅四合院、现代住宅．

= 2 \* GB3 ②古代货币形制．

2、 问题情境

（1）什么叫做平均变化率?

课堂预设: 一般地，函数在区间上的平均变化率为．

= 1 \* GB3 ①平均变化率就是曲线上两点的连线（割线）的斜率；

= 2 \* GB3 ②平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势．

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率的“视角化”．

思考：如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

（2） 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？(点P附近的曲线的研究)

课堂预设: 从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受后提出“放大图形”的朴素方法．

3、学生活动与师生互动：

观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？

课堂预设：曲线在点P附近看上去几乎成了一条直线；继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线；点P附近可以用这条直线代替曲线；

用直线的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势．

探究:怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线呢？

如图，直线为经过曲线上一点P的两条直线．

（1）试判断哪条直线在点P附近更加逼近曲线？

（2）在点P附近能作出比更加逼近曲线的直线吗？

（3）在点P附近能作出比，更加逼近曲线的直线吗？

课堂预设：引导学生得出：随着点Q沿曲线向点P运动，直线PQ在点P附近

越来越逼近曲线．

4、建构数学

（1）割线逼近切线

动画演示,观察点Q的运动，直线PQ的运动，直线PQ斜率的变化，生成概念．

课堂预设：Q为曲线上不同于点P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线；

随着点Q沿曲线向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为点P处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点P处的切线．

【练习】 借助直尺，用割线逼近切线的方法作出曲线f(x)=x³在点O处的切线：

思考：曲线的切线和曲线只有一个交点？

（2）割线斜率逼近切线斜率

怎样求曲线上点P处切线的斜率呢？

课堂预设：切线的概念提供了求切线斜率的方法．

为了更好地反映点Q沿曲线向点P运动，我们选择一个变量△x．不妨设P(x，f(x))，Q(x+△x，f(x+△x))，则割线PQ的斜率为（学生作答），（问题：切线斜率呢？）当点Q沿着曲线向点P无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点P处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点P(x，f(x))处切线斜率．

5. 数学应用

例：已知，求曲线在处的切线斜率．

思考:求曲线 y=f(x)在x= x₀处的切线的斜率及切线方程;

【方法提炼】求曲线y=f(x)上一点P(x₀,f(x₀))处的切线的斜率和切线方程的一般步骤

变式：若曲线的一条切线的斜率是-4,求切点的坐标.

练习: 求曲线f(x)=x³在在 x= 0处的切线方程.

6.课堂小结

回顾一下，本节课你学到了什么？有哪些收获？

课堂预设：1、学生小结；这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线斜率的概念，学习了用割线逼近切线研究曲线切线的方法，学会了切线方程的求法. 利用“逼近”的方法建立了切线和切线斜率的数学模型，这种建模的方法在数学中乃至其它学科领域也都有广泛的应用. 例如，运动学中作变速直线运动的物体在某一时刻的瞬时速度的求法等也都将用同样的建模方法来研究.

2、总结我们经历过的“以直代曲”，“无限逼近”的生活实例和数学实

例（如割圆术）.

3、我们先前已经学习过了圆、圆锥曲线及其切线，还记得他们的概念，作法或求法么？今天又学了一般的曲线的切线，怎样把他们有机组织起来？

7.作业布置：教材第16页，感受理解第3. 4 题

8.教学设计说明：这堂课设计上依托教材强调几何直观、弱化概念的表达形式，为学生后面对导数概念的本质的理解打好基础. 其中“局部以直代曲”的思想则是微积分的核心所在，教学中参照教材从“放大图形”的朴素方法到“无限逼近”的极限观点逐层深入的揭示这一辨证思想. 整堂课围绕中心问题“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势”展开，引导学生提出一步一步的小问题或设置一些小问题，最终形成很有哲学深度的“逼近”思想，从而理解概念，掌握切线斜率求法，解决中心问题.