高中数学“设而不求”策略应用研究

江苏省江阴市第一中学 王江

【摘  要】在解决高中数学问题时，“设而不求”是一种重要的数学思想与方法技巧，但是在实际的教学实践过程中，相当一部分教师与学生对这一方法的认知都存在偏差。本文以苏教版高中数学为例，结合不同类型的例题对这一解题技巧进行综合说明，提出具有针对性的教学建议。

【关键词】设而不求；高中数学；苏教版

一、问题背景

在高中数学中，有一类常见的试题类型，在解题过程中需要设一些题目中并没有给定的变量，但是在解决过程中不需要解算这些变量的具体值，而是通过变形或者简化处理将其消除，这就是本文所说的“设而不求”思想方法，其实质就是从问题整体出发，根据其结构来进行变式处理，借助科学的转化与运算手短最大幅度地降低计算量，经常以参数为过渡，以概念定义、向量原理、基本不等式以及几何性质等为基础。“设而不求”的思想方法应用广泛，在代数、几何等内容中均有所涉及，比如方程问题、函数问题、导数问题、不等式问题、解析几何、向量问题等。

二、案例解析

（一）方程的根问题

【案例1】已知函数f（x）=x²+ax+b，其中a、b∈R，函数值域为[0，+∞)。假设关于x的不等式x²+ax+b＜c的解集为(m，m+6)。试求解实数c的取值。

【解析】由题干信息可知，函数f（x）=x²+ax+b的取值范围为[0，+∞)，即f（x）_min=0，可得a²-4b=0。不等式x²+ax+b＜c的解集为(m，m+6)，也就是方程x²+ax+b=c的两根分别为m与m+6。根据韦达定理可知，∣x₁-x₂∣=,已知x₁+x₂=-a，x₁·x₂=b-c，代入上述表达式有，将a²-4b=0整体代入，计算可得c的取值为9

【总结】在本题的解决过程中，关键一点就是注意到m与m+6是方程x²+ax+b=c的两根，在后续解答过程中，一般的处理方法是运用求根公式将其求出，但是在本题中无法求解，但是两根具有“差值为6”这一显著特征，因此将已知条件往两根之差去转化，再通过整体代入的方式实现“设而不求”，这也是处理方程的根问题的重要思路方法。

（二）不等式问题

【案例2】已知抛物线M：y²=4x，焦点为F，过F点作两条垂直直线l₁与l₂，使得直线l₁与抛物线M交于A、B两点，直线l₂与抛物线M交于C、D两点，试求解∣AB∣+∣CD∣的最小值。

【分析】根据已知条件，设出直线l₁的方程，将其与抛物线方程进行联立，根据弦长公式确定∣AB∣的表达式，再根据两直线垂直这一条件得到∣CD∣的表达式，最后利用基本不等式来解决最值问题。

【解答】由已知信息可知，直线l₁与l₂的斜率均存在且不为0。设A点的坐标为（x₁,y₁），B点的坐标为（x₂,y₂），直线l₁的方程为：x=ty+1，联立方程组可得y²-4ty-4=0，D=16t²+16＞0，满足y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，根据弦长公式可得∣AB∣===4+4t²，同理可得∣CD∣=4+4/t²，因此∣AB∣+∣CD∣=4+4t²+4+4/t²，由基本不等式可知4t²+4/t²≥2=8，因此∣AB∣+∣CD∣≥16，当且仅当4t²=4/t²，即t=1或-1时等号成立

【总结】

在解析几何最值问题中，我们往往结合基本不等式进行处理。建立含参数的关系式，不求解具体的参数值，而是整理得到基本不等式的形式，借助设而不求的思想方法进行解决，这是解决解析几何最值问题的常用方法。

（三）解析几何问题

【案例3】如图1所示，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），M点为直线l：y=-2p上的任意一点。经过M点作抛物线的两条切线，分别与抛物线相切于A点与B点，假设A点在左，B点在右。若抛物线上有一点P，距离直线l的距离为d，满足数量关系d-∣PF∣=3/2，其中F为抛物线的焦点。当M点的坐标为（2，-2）时，试求解抛物线方程以及直线AB的方程。

【解析】

∵M点的坐标为（2，-2）

∴p=1

∴抛物线的方程为：x²=2y

设A点的坐标为（x₁，y₁），B点的坐标为（x₂，y₂）

∴切线MA的方程为：x₁x=y₁+y，切线MA的方程为：x₂x=y₂+y

将M点的坐标（2，-2）代入，可得：2x₁=y₁-2，2x₂=y₂-2

∴直线AB的方程为：2x=y-2

【总结】在解决抛物线外一点的切线问题时，可以先设出切线方程，但是不需要进行求解，且解得出切点弦以及弦的距离，通过整体代换的方式，设而不求，得到相应的方程式。

图1

三、结语

“设而不求”技巧方法在解决高中数学问题时具有广泛的应用，可以很好地拓宽学生的思维，促进学生的动态发展。在教学过程中，教师要引导学生养成全面思考、宏观与微观相结合的思维方式，提高学生的思维与解题能力，进而提升数学教学的效果，促进学生的综合发展。对于“设而不求”这一类问题，教师要形成两个基本的认识：其一是定位明确，全面理解，充分认识这一类问题的灵活性与多变性，强化学生的辩证思维，杜绝机械、呆板的思维方式；其二是突出方法重点，解决学习难点，抓住“设而不求”技巧方法的重点，即“设什么”以及“如何设”，在此基础上强化学生提取信息并实现代数变形的能力，这需要学生具备一定的整体思维能力，这也是这一方法的必要素养。

参考文献

[1] 宗乾. 初中数学解题错误原因分析及其对策研究[J]. 中学数学, 2014（18）.

[2] 唐俊涛. “设而不求”探方法，提升素养育能力[J]. 中学数学月刊, 2019(1): 59-62.

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[4] 林志敏, 赖呈杰. 浅谈导数问题中设而不求策略[J]. 福建中学数学, 2016(10): 37-38.