延长算理探究过程  让学习深度发生

——“分数乘整数”教学实践与思考

江阴市申港实验小学  吴萍

教学内容：苏教版《义务教育教科书·数学》六年级上册第28-29页。

教学目标：

1.通过自主探索，知道求几个相同分数连加的和可以用乘法计算，理解并掌握分数与整数相乘的计算方法，能正确计算相关式题。

2.经历探索分数与整数相乘的计算方法的过程，增强运用已有知识和经验解决问题的能力，培养学生独立思考、主动交流的习惯，提高学生计算能力和抽象概括能力。

3.使学生在研究算法和解决问题的过程中，体验探索学习的乐趣，感受数学与生活的密切联系，获得一些学习成功的体验，提高学好数学的信心。

教学重点：分数与整数相乘的计算方法，会正确计算。

教学难点：分数与整数相乘的算理。

教学准备：练习纸  实物投影

教学实践

一、唤醒旧知

＋＋＝       ＋＋＝      ＋＋＝

媒体出示后指名让学生汇报并说说计算过程。

师：同分母分数相加怎样计算？

生：分母不变，分子相加。

【思考】同分母分数加法是分数乘整数计算方法的重要基础，课始安排同分母分数的口算练习能更好的唤醒学生的旧知，为新知的学习做好准备。

二、主动探究，自主概括

1.谈话：国庆节快到了，同学们买来了一些绸带做成绸花装扮教室。

出示例1:做一朵绸花要用米绸带，小芳做3朵这样的绸花，一共要用绸带几分之几米？

师：如果用这个直条表示1米的绸带，那么米在图上怎样表示？

生：把1米平均分成10份，表示这样的3份就是米。（媒体出示图示）

师：小芳做了3朵这样的绸花，你能在图上涂色表示做3朵绸花所用的米数吗？学生自主在书上涂一涂，指名汇报后媒体出示：

 

师：要求一共用绸带几分之几米可以怎样列式？

生1：＋＋

师：＋＋怎样算？

生1：分母不变，分子3+3+3=9，所以是。

师：还可以怎样列式？

生2：×3

师：你是怎么想到用乘法计算的？

生：3个相加就可以列成乘法算式×3（根据学生回答板书：3个相加）

师指出：我们以前学过求几个相同加数相加用乘法计算，这里是求几个相同分数相加也可以用乘法计算。

师：在这道乘法算式中，两个乘数分别是什么数？根据学生的回答板书课题。

【思考】通过出示直观图，学生很容易发现求3朵绸花的米数其实就是求3个相加，在之前的学习中学生已经知道求几个相同加数的和用乘法计算比较简便，而分数乘整数的意义与它相同，所以只要顺势的提问，学生就自然接受了算式的意义，实现了意义的正向迁移。

提问：×3怎么算？

生：分子3×3＝9，所以×3=

师：分母不变，把分子3和整数3相乘，这样算有什么道理呢？小组交流

全班汇报：

生1：从图上我们可以看到，一朵绸花需要3个米，三朵绸花是三三得九，也就是9个米，9个就是。

生2：×3表示3个相加，写成加法算式就是＋＋，而＋＋结果就等于。

生3：我有补充。在计算同分母分数加法时，计算方法是分母不变，分子相加，而分子3＋3＋3是3个3相加，可以写成3×3，所以×3在计算时分母不变，把分子3和整数3相乘。师根据学生的回答板书计算的推演过程。

 

 

 

师:刚刚同学们的回答非常精彩，看来分数乘整数这样计算的确有道理。

【思考】学生第一次对算法的探索很重要，在组织教学时我们应该放手让学生自己探索。依据学生的知识经验，他们会根据直观图，借助分数的意义来思考；也会结合分数乘法的意义，联系同分母分数的加法计算方法来计算。教师通过提问：“这样算有什么道理呢？”，引导学生经历把“分母不变，分子相加”加工成“分母不变，分子与整数相乘”的过程，实现对算理的初步理解和算法的初步感知。

提问：计算其余的分数乘整数可以怎样算？是否也和×3的计算方法一样呢？要解决这个问题可以怎么办？

生：举一些例子

师：是的，我们可以通过举例子来进行研究。

媒体出示：×4＝

师：×4可以怎样算？先自己想一想，再和同桌交流。

生1：×4等于 ，因为2×4＝8，所以等于 。

师：这样算有什么道理呢？

生2：×4表示4个相加，4个相加是 。

生3：这和例题的×3的道理是一样的，4个相加分母不变，分子是4个2相加，而4个2相加就可以写成4×2或者2×4，所以等于 。

根据学生的回答媒体出示：

 

 

 

师：8×又可以怎样算？你又是怎样想的？

学生自己说一说计算方法，媒体同步出示：

 

 

 

师：×21你想怎样算？

生1：×21表示21个相加，分母不变，分子是21个5相加，可以写成21×5，所以等于 。

生2：老师，每次这样写太麻烦了，碰到很多个分数相加过程就太长了。

师：你觉得哪里可以省略？

生2：我觉得计算过程只要写＝ 就可以了。

师：你们能明白这样算的道理吗？

生3：因为在计算21个相加时，分母不变，分子表示21个5相加，所以分子直接可以写成21×5。

 

 

 

 

师：像这样分数乘整数的例子你还能举一些吗？你是怎么算的？又是怎么想的？先自己举一个例子算一算，再在小组里说一说。

汇报算法和想法。

媒体出示：×n(a≠0)

师：分数乘整数n怎么算？你是怎么想的？

生1：分母不变，把分子b和整数n相乘。

生2：×n表示n个相加，分母a不变，分子表示n个b相加，所以可以这样来计算。

 

 

 

 

问：看来分数乘整数只要怎么算？

生：分母不变，把分子与整数相乘（板书：分母不变，分子与整数相乘）

师：同学们自己探索出了分数乘整数的计算方法，真棒！

【思考】在原来教材例1的基础上，精心设计了这样的环节，旨在从深度和广度上继续引导学生理解算理，探究算法。在这样的活动中学生从单一的感知到多次深入思考；从简单的模仿到算法的自主优化；从教师举例到自主探究；从具体的计算到逐步建立模型……他们的思维也始终都处于活跃的状态，从被动思考到主动交流，从简单模仿到自主创新，从被动接受到质疑反思……教师在教学时也始终聚焦算理，将算理和算法相互融合，通过算理来帮助学生掌握算法。

2、练习：×9    ×6     ×9     

 学生独立完成后汇报并实物投影展示

 

 

 

师：这两种算法有什么不同？你喜欢哪种算法？为什么？

生1：我喜欢第一种，这样算不会算错。

生2：我喜欢第二种，计算结果也是正确的，而且这样算比较简便。

师：那我们请第二种算法的同学来说说他怎么想的？

生3：起先我也想这样算，但我发现45和9是倍数关系，正好可以约分，所以我就尝试先约分再算，我发现我的计算结果和同学们是一样的，也是正确的。

师：为你的善于观察和敢于尝试点赞！

生：第一种算法把分子乘9后再除以9，而第二种算法把分子分母直接除以9，这样省略了一步，而且计算更简便。

师：看来这两种算法都是可以的，但第二种算法更加简便。

其他同学纷纷表示认同。

出示： 13×  99×

学生独立计算后指名汇报（略）。

师：计算这两道算式你们都是怎样算的？

生：我都是先约分再计算，这样计算就简便多了。

师指出：在以后的计算中遇到能约分的可以先约分再计算（板书：先约分再计算），这样可以使计算简便。

【思考】学生在之前分数加减法的计算中都是先计算再约分化简，所以也会把这种计算的习惯带入分数乘整数的运算。故在设计教学时教师没有直接告知学生简单的算法，而是在实际计算的基础上，通过两种算法的对比，引导学生思辨，在集体的讨论和交流中接受和理解“先约分再计算” 可以使计算简便的道理。

三、巩固应用，拓展提升

1.出示练一练第1题

学生先涂色再说说算式，把计算结果和涂色结果比一比。

2.计算：

 

 

学生独立计算后汇报（学生如有错误及时示错）

3.解决实际问题：

（1）幼儿园有36个小朋友，每个小朋友吃块月饼，一共吃多少块月饼？

（2）一个正方体的底面积是平方米，它的表面积是多少平方米？

（3）小力的速度是千米/分，15分钟步行多少千米？1小时呢？

（4）果园梨树的面积是公顷，桃树的面积是梨树的2倍，桃树有多少公顷？

师：请同学们仔细读题后列式计算。

生独立列式后汇报交流。

师：这四题都用什么方法计算？为什么它们都可以用乘法来计算？

生逐一汇报想法。（略）

师：分数乘整数既可以表示几个几分之几相加，也可以表示几分之几的几倍是多少；不仅可以表示已知速度、时间，求路程的数量关系，还可以表示已知底面积，求正方体表面积的公式。看来，分数乘整数的意义还真丰富呢！

【思考】在不同的情境中乘法的意义是不同的。教学中引导学生从整数乘法的意义拓展到分数乘法的意义，帮助他们回顾和整理了分数乘法意义的不同现实模型：相同加数和的模型、倍数模型、求路程的数量关系模型、求表面积的公式模型等，既渗透了模型思想，感受了分数乘法意义的丰富，也拓展了学生的思维，提高了解决问题的能力。

4.自我挑战：

 

 

 

 

 

 

生独立完成后汇报。

师：表示几个相同分数相加，用乘法计算比较简便。

四、回顾反思

    师：回顾本节课的学习过程，你们是怎样发现分数乘整数的计算方法的？在学习过程中你获得了哪些经验？

课后反思：

分数与整数相乘是苏教版六年级上册《分数乘法》单元的起始课。首次教学分数乘法，教材除了从实际问题引出，还与整数乘法相联系，使学生利用已有经验建构新的算法。分数乘整数的计算方法看似简单，实则需要学生进行严密地思考和逻辑推演。教材仅安排了例1的第（1）小题来进行教学，学生处于简单模仿阶段，很难达到对算理深入的理解。教学时，教师对教学的素材进行了精心的选择和增补，将算理探究的过程“放大”，旨在让学习活动更深入，学生数学能力得到更大的锻炼和提高。总体来说，本节课的设计有如下特点。

1．建立模型，使学生理解更深入

在探究分数乘整数算理时笔者在原有例题的基础上进行了大胆的扩充，着重丰富了这一探究过程。首先教学例题，使学生对分数乘整数的计算方法有了初步的认识；其次由教师和学生分别举例，由简单到复杂，多次经历计算分数乘整数的过程，一方面帮助学生巩固分数乘整数的计算方法、说清算理，另一方面学生也在不断推演的过程中逐步优化计算方法。最后出示字母式，抽象出计算模型，引导学生自主归纳分数乘整数的一般计算方法。知识的获得需要给学生一定量的积累，需要教师的引导和点拨，只有让学生经历这样的累积过程，他们对知识的理解才能更深入。

2．问题引领，使学生目标更明确

以问题为引领需要教师充分调动学生学习的积极性，发挥学生在学习活动中的主体地位。例1教学×3，通过教学学生已初步理解了计算×3的算理和算法，在此基础上教师提问：“计算其余的分数乘整数可以怎样算？是否也和×3的计算方法一样呢？”“你能说说这样算的道理吗？”通过这些问题的提出，引领学生自主去探究，经历算法抽象的过程，从而总结归纳出分数乘整数的计算方法。在巩固练习阶段，教师安排了四道解决实际问题，旨在对分数乘法意义进行梳理，建立联系。教师出示题组后提问：“这四题都用什么方法计算？为什么它们都可以用乘法来计算？”由这样一个问题引发学生深度思考，通过学生的讨论和交流，既丰富了对分数乘法意义的理解，同时他们的表达能力、解决问题的能力也进一步得到提升。

3．建立联系，使学生认识更全面

深度学习需要我们用联系的观点来指导自身的教学，将新知的学习和学生已有的知识经验建立直接的联系，使学生的认知结构更加全面。在教学中教师始终引导学生聚焦算理，实际也是引导学生将分数乘整数的意义与整数乘法的意义建立联系，将同分母分数的加法计算和分数乘整数的计算方法建立联系，帮助学生有意义的接受新知，达到对新知的深度理解。在理解算理、形成算法、达成运算技能的基础上，教师以题组的形式出示四道不同的解决问题，尽管情境不同但它们都可以用分数乘法来计算，这无疑也沟通了与整数乘法意义的联系。学生在解决过程中不仅强化了分数乘法的意义，而且还体会到它的丰富内涵，从而完善了自身的认知结构,拓展了学生的思维。