让本原性问题驱动数学理解

江阴市教师发展中心  包静娟

问题是数学的心脏。课堂教学是由一个个问题组成，并驱动教学流程向前推进的。2017年3月，笔者在江阴市数学备课组长培训班组织开展了“教学提问有效性”的课堂观察，发现教师一节课提问数量居然达到100多个，指向高阶思维的问题寥寥无几。普通老师如此，优秀教师呢？2018年12月，对华东六省一市第二十届小学数学课堂教学17节观摩课进行师生话语时间统计，在右面这张统计图上，我们可以清晰地看到，教师的话语霸权严重挤压了学生独立思考的时间。看来，课堂中教师提问的“碎片化”“浅表化”“惰性化”现象比比皆是。 

那么，如何根除当下的时弊？笔者认为，应该让本原性问题驱动数学理解。这样教学可以做到:更高、更少、更清晰。在教什么的问题上追求“更少”，聚焦数学核心知识和关键环节，整合小步子的教学，设计有空间的大问题，让学生进行更深入的探究，避免在非核心知识处徘徊。“更少”需由“更高” 保证。教学要关注数学知识的内涵本质、思想方法，数学学科素养，激发思考的动力，学习思考的策略，提升思考的能力。这样，教学的焦点从“知识层”深入到“思维层”，推动或者说是倒逼教师与学生一起思考，进行思维共振、思想争鸣，课程的思维含量大大增加，师生的思维能力在师生互动及生生互动中持续地、系统地得到锻炼与发展。 

一、厘清：本原性问题的内涵意义

所谓本原性问题就是指向学科本质和学生素养的问题，它具有内在的统摄性，可迁移性，能够帮助我们把零散的知识和技能串联起来。当知识围绕“本原性问题”被组织的时候，会促进理解性学习。“本原性问题”的筛选标准有四条：①具有持久的价值（它对成年人的生活有价值吗？）；②位于学科的中心（基本概念、基本原理和基本思想）；③需要发现（重难点、易错点和混淆点）；④有吸引力（能激发学习潜能）。

数学以简易性为目标，保持着学习和应用数学的高效性。用本原性问题驱动数学理解遵循了思维经济的原则，超越对于技巧性问题的过度追求、聚焦到情境性问题所涉及的数学核心，用数学自身的驱动力（数学的逻辑链、数学美、数学兴趣）来促进数学理解的发展。

二、审视：本原性问题被回避的缘由

在许多教学实践中，本原性问题往往被悬置或回避，究其缘由，笔者认为主要存在以下三方面的情况：

（一）不知“何为本原”—— 对理解本质缺乏认识

数学理解不仅需要掌握数学概念、规则或方法，还应经过积极思考，建立起个人的内在观念网络，即数学地观察、分析和表达世界，促进学科素养的提升。对理解本质缺乏认识，往往会导致教学活动浮于表面，在非本质内容处徘徊游荡，肤浅和浪费最终带来的只有学生的“身动”，而没有学生的“心动”，无法让学生实现数学的深度理解。

（二）不知“本原何为”—— 对理解动力缺少支持

如果教师在观念上没有认识到“本原性问题”的意义与价值，在实践操作上就会缺乏相应的支撑学生数学理解不断向前发展的教学方法。只是让学生被动地接受教师赐予的东西，或是过度地进行技能技巧的训练，不仅会加大学生的学业负担，而且无法让学生体会到数学知识的迁移力与再生力以及相伴而生的兴奋，对数学理解就会缺乏内驱力。

（三）不知“如何本原”——对理解形成缺失架构

教学中经常有教师忽视结论获得过程中知识的内在联系，习惯用几个学生的琐碎的、不完整的答案“凑”出比较全面完整的答案，习惯用一两个例子得出一般性结论。教师那种肢解数学知识“内在脉络”，忽视学生认知差异，剥夺学生抽象、推理、建模体验过程的行为，造成学生的能力“黑洞”，使其无法在复杂的情境中判断、分析和解决问题。

三、探寻：本原性问题驱动数学理解的路径

社会建构主义学习理论认为，只有进入学生认知场域并被其意识到的问题才能促使其独立思考，并进而形成自己的数学理解。因此，教师应积极探索数学理解的发生机制和规律，用本原性问题建构新型的有利于小学生数学理解的教学方式和策略，让学生“获得对数学对象的理解”并养成“从数学的角度去理解现实”的素养情怀。

（一）问题指向本质化，提升数学理解的生命力

蔡元培先生认为“教育者，非为已往，非为现在，而专为将来”。教师要从学科的统领性视角审视特定的教学内容，让问题设计指向数学学科本质，使之具有统摄性，内核性，衍生性，增强数学理解的生命力。

1.聚焦学科本质

数学理解的核心是思维，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想“抽象、推理、建模”，只有把学的“本想”还给学生，学生的学习才会“后劲十足”。例如，“3的倍数特征”的教学不能仅仅停留在概念的掌握上，而是要引发学生数学理解行为的表现：能解释为什么“各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”？能阐明“3的倍数特征”与“2、5倍数的特征”之间有什么联系？能洞察“3的倍数的特征”本质是转化的思想，即把含有计数单位“十百千…”的数转化成含有计数单位“一”的数在研究，能应用这一规律去判断是否是3的倍数，能反思类比迁移“4、25等倍数的特征”……

2.深究原理性知识

数学知识越抽象，越具有普适性，越具有迁移的生命力。在教学中，教师要善于设置真实的问题情境，鼓励学生深入探究知识的内涵意义，知识的来龙去脉、知识的整体结构，知识背后的思想。如“替换策略”的教学，教师往往会陷入“解题教学”的误区。该课的本原性问题是转化思想和简化思想，即把多个未知量与总量之间的复杂关系转化为一个未知量与总量之间的简单关系。教学时，可从天平上物品间的等量替换迁移到等式上物体间的等值替换，从两个未知量的替换迁移到三个、多个未知量的替换，再迁移到研究生活中的替换现象，实现对替换策略的深刻理解。

（二）问题组织结构化，提高数学理解的索引力

数学理解的本质是建立联系。用本原性问题驱动数学理解就是要用数学的高观点统帅教学，运用大问题、长任务进行意义关联的系统思维和整体策划，在数学概念和方法间建立联系。

1.纵向知识的长程设计。

所谓纵向知识结构关联，就是将不同年级知识纵向联系起来，进行长程的整体设计。例如，低年级的长度概念、长度度量单位的教学，中年级的面积概念、面积度量单位的教学，以及高年级的体积概念、体积度量单位的教学，这些知识属于一类课，体现的是线、面、体三维空间概念和度量 单位，可以进行关联思考和整体设计。

2.横向知识的比较对照。

所谓横向知识的结构关联，就是围绕某一知识点用系统、整体的眼光，联结已有概念，联结几何直观，联结生活实践，联结其他学科所进行的整体设计，它能促进数学理解的深度、广度和宽度的发展。如苏教版四下《三角形的认识》一课，认识三角形的高，可联系学生量“身高”的生活经验，先引出三角形水平方向的高，在此基础上，旋转三角形，最终抽象出三角形高的概念。画三角形的高，可联系学生画点到直线的垂线段的知识。三角形稳定性的教学，可与四边形易变形的特点进行比较。让学生用三根固定的小棒围三角形，发现大小形状唯一，让学生用四根小棒围四边形，大小形状不唯一，在比较对照中，实现对知识的深度理解。

（三）问题运作主体化，增强数学理解的内驱力

哲学解释学宣称，“一切理解都是自我理解。理解是人的存在方式，人在理解中存在，在存在中理解。”因此，问题运作方式应促成与学生的个体精神世界相互开放、主动积极的对话关系。

1.基于学生之“有”

数学理解性教学要研究并了解学生的已有经验，为其经验的改造持续性地给予支持。对于支持性的经验要善于“借力”，对于新知有阻碍的经验要进行“对质”。如三角形“稳定性”的认识，学生往往会与生活中的“稳固性”相混淆，认为“拉”不动，就具有稳定性,“拉”得动，就“不”具稳定性。教学中，让全班学生用三根同样的小棒“围”三角形，从而发现三根小棒围成的三角形，“除了摆放的方向不同外,形状和大小完全一样”。这样的活动，明确地指向于知识的本原,有效地避免了理解上的歧义。

2.顺应学生之“需”

教学要“顺木之天，以致其性”。为了鼓励学生积极参与，在教学中要充分调动学生兴趣，吸引学生的注意力，让学生觉得数学“好玩”“好妙”“好美”。例如，学习了两位数加减法后，教师开发了“读心术”的游戏（在百数表9的倍数处标注相同图案），让学生在百数表中任选一个两位数，交换个位和十位上数字位置，把新数与原数相减结果的图案默记心中。教师每次都能准确猜出学生心中所想。这样的设计不仅使枯燥的计算练习，变得生动、有趣，而且让学生体会到数学自身的奇特现象，感悟到数学的内在之美。

3.激活学生之“能”

研究发现，当把学生的个体学习与各种形式的共同学习有效结合起来时，学生表现出很强的学习兴趣与参与热情，并且能够发表有创见、有深度的想法。如《多边形面积的整理与复习》一课，要求学生“在方格图上画一个与梯形的高和面积都相等的图形”。在这一开放性问题引领下，学生自主探究，个性化表达。在分享交流中发现了数学的统一之美：当梯形上底缩小为0时，就成了三角形、当梯形上下底相等时就成了平行四边形。并且还把“梯形面积公式”这一“万能公式”，与求等差数列的公式联系起来，实现了对知识融会贯通的理解。

当然，如果想让学生触及学科本质，除了让学生主动参与到分析问题，解决问题过程中外，更要鼓励学生发现问题、提出问题。与此同时，教师要善于把学生的原发性的问题转化和引导到对本原性问题的探讨上来。

小学数学是基础性的数学。它是初等的，因为它是数学学习的开始；它是起源的，因为它包含了高等数学的基本原理和思想；它是基本的，因为它为学生今后进一步学习数学打下了基础。用本原性问题驱动数学理解目的不仅仅在于数学知识的掌握，数学理解力的提升，更重要的学科态度和价值观的改变。“以俗观之”、“以物观之”和“以道观之”是《庄子，秋水》中探讨的认识外物活动的三种立场，而“以道观之”正是本原性问题驱动数学理解的课堂教学所追求的境界。