1  写在前面

选定什么课题，能切合当前初三学生复习要点，让学生受益，让听课老师受启发？经思考，王老师决定上“数形结合”专题，从中考和初高中衔接的角度设计，给听者留下新颖而深刻的印象．限于篇幅，以下侧重从设计的层面加以评析．

2  教学思路

初三中考的复习是分层次、有侧重的，如果说一轮复习是侧重于构建知识网络、注重基础、查漏补缺，那么二轮复习就是强化重点、考点，注重知识的纵横联系，提升用数学思想方法解题的能力．二轮复习也是专题复习，需要根据学生的层次设置不同的专题．从前期试卷检测看，部分学生利用图形解题的意识淡漠，用代数手段解决几何图形问题意识不强、不够清晰，而数形结合对于初、高中教学，都是一种非常重要的思想方法，因此设定“数形结合”专题．本专题的教学目标是能用数形结合的思想方法去分析、解决一些数学问题；在探索过程中体会由数想形，由形思数，增强数形结合的意识，也为顺利进入高中学习奠定基础．

3.1  专题导入

师：如图1，这是一张熟悉的函数图象，请说出具体的解析式（）．

师：你是怎么做的？（将点（1，2）代入）．

师：你能说出这样做的理由吗？

促学生回忆出函数有三种表示，解析式、图象和表格，函数解析

式（数）与图像（形）是一一对应的．

师：可见，“图1”（形）与解析式（数）是同一个反比例函数的不同表示．由此，解决某些问题，有时侧重于代数法，有时侧重于图形法．今天主要是来探索、梳理一下数与形的转换与结合问题．

点评：先让学生观察一张熟悉的函数图象，由一个人人都能参与解答的引题，拉近了课题与学生的距离，将学生的思维引向新课的探究之旅．通过“看图思数”、提问与追问，让学生明晰“形”与“数”是同一个函数的不同呈现，当学生的观察与思考进入状态之时，便达到了教学立意的“数形结合”之目的．

 

3.2  实践探索

【热身训练】

1. 如图，在梯形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，

AD=2BC=2AB=2a，求证：AC⊥ CD．

简析、操作：请2—3名学生回答，暴露下列方法：

（法1）通过角度证明：过C作AD的垂线交AD于点E，通过证∠CAD=45°，∠ADC=45°，得∠ACD=90°．

（法2）通过勾股定理逆定理证明：根据计算得AC=,CD=，AD=2a，故∠ACD=90°．

2．若不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs3\al(x－a＞0，,x－a＜1))的解集中任一个x的值均不在2≤x≤5中，则a的取值范围为____    ．

变式：若不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs3\al(x－a＞0，,x－a＜1))的解集中任一个x的值都在2≤x≤5中，则a的取值范围为________．

简析、操作：给学生2分钟思考，引导学生通过画出数轴求解．

 

 

 

观察数轴，不难判断得：或（在端点处要另外监控），显得直观、简洁．

解题回顾：（师生一同进行）题1是一道几何证明（“形”的问题），我们通过代数运算，获得解决——代数法求解；题2是一道含字母的不等式组的解集问题，比较抽象，我们可以借用其对应的几何图形，利用图形的直观性解决——画数轴（形）求解．

点评：如果说“专题导入”是本节课引子的话，那么“热身训练”则带领学生步入了思维的快车道．热身1选取了高中立体几何中利用平面几何证明垂直的一例，它是通过以算（代数运算）代证．无论是由形得角还是由形思数（勾股定理及其逆定理的运用），从学习策略的角度审视，都达到了探索、思考、发现的效果；热身2与其说是教师把学生由数向“形”上引，不如说是学生自我内省而逼其上“形”．

【典例分析】

例1.  当—1≤x≤1时，函数的值有正有负，则实数a的取值范围是          ．

简析、操作：（1）指导审题：抓关键词：—1≤x≤1 、有正有负．

（2）指导解答：代数解有困难，可联想图像（直线）解决，需要分两类．

变式  条件“有正有负”改为有实根呢？

解后回顾：涉及到一次函数问题，如果能画出其图象，则显得清晰、直观．求解时，注意与分类思想联系起来．

例2． 二次函数y＝ax²＋bx的图象如图，若方程ax²＋bx—m=0（m≠0）有两个不等的实数根，则m 的取值范围是          ．

简析、操作：一般学生可能会利用一元二次方程有两个不等的实根，利用根的判别式求解，但这里仅知道a，b范围，不清楚a，b的具体值，代数法尝试受阻，则换个角度，把方程的根看成两函数y=ax²＋bx，y= m交点的横坐标，由图易得m>—3．

变式1：若|ax²＋bx|=m（m≠0）有两个不等的实数根，则m 的取值范围是          ．

变式2：若|ax²＋bx|=m（m≠0）有四个不同的实数根，则m 的取值范围是          ．

简析、操作：引导学生根据图形的对称得到y=|ax²＋bx|的图像，再判断即可．

解后回顾：把方程的根看成两函数对应图象的交点，画图求解．让学生归纳出“热身2——例2这一组题的共同特点”：某些代数问题通过画图求解，称为以“形”助“数”，华罗庚说得好，数缺形时少直观．

例3. (2005年无锡中考改编)  如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过P作PE//DQ交AQ于E，作PF//AQ交DQ于F.

（1）求证：△APE∽△ADQ；

（2）当P为何处时，△PEF的面积取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q为何处时，△ADQ的周长最小？（须给出过程或方法，不用证明）

简析、操作：（1）由PE//DQ即可得到结论；

（2）几何图形问题，从“形”的角度难以证明，考虑用代数法求解：将三角形面积表示为自变量x的函数．

设AP=x，，=，同理=．

==．

显然，P为中点，△PEF的面积取得最大值．

（3）作点A关于BC的对称点A^/，连接DA^/交BC于点Q,则Q为△ADQ的周长最小的点，此时，Q为BC的中点．

解后回顾：（师生共同）几何图形的最值，还有动点问题，往往通过列出目标函数，用函数的性质求解，称为以“数”解“形”；在“数”解的过程中，又利用相似形性质和平行四边形性质，是一个“形→数→形”的过程，数形结合．可见形缺数时难入微，数缺形时少直观．

点评：数学复习课中比重最大的一块就是例、习题的处理．本节课对例题的价值进行了充分挖掘，通过同一背景下的不同变式，不同层次、不同背景的变式，变中求同，产生1+1大于2的效果，揭示知识点的联系，紧靠学生的最近发展区，使学生加深知识的理解和内化．而解题回顾中的“把方程的根看成两函数对应图象的交点”，则是高中数学中常用的一种解题策略．

【当堂练习】

1．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，给出以下4个结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0．其中，所有正确结论的序号是 （　　）

A．③④           B．②③

C．①④           D．①②③

2．（2007无锡中考）已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为         ．

简析、操作：先让学生独立练习，再回答．题1要求从“形”中读出“数”的信息，对于二次函数y＝ax²＋bx＋c而言，a＋b＋c ↔ 1对应的函数值 、a－b＋c ↔(—1)对应的函数值 、c ↔ 0对应的函数值．题2通过画图，判断所求直线必过矩形的中心（5,3），再代入得解，简洁流畅．

解后回顾：要挖掘某些字母、式子的几何意义．如上二次函数中a＋b＋c等几个字母的几何意义，还有一次函数中b、反比例函数中的k的几何意义，都要熟悉．

3.【挑战自我】（2000年北京春季高考题）已知函数y的图象如图，则 （    ）

  A．b<0      B．0<b<1   C．1<b<2    D．b>2

简析、操作：这是近年来高考试卷中普遍公认的一道好题．

（1）从图象上你能获得什么信息？（过三点（0，0），（1，0），（2，0））

（2）二次函数有三种形式，交点式为？（y＝a（x—x₁）(x—x₂) ）    

（3）通过二次和三次的类比，你能假设这个三次函数，并解决这个问题吗？

（法1）设该三次函数为：y＝ax(x—1)（x—2）（*），展开得y＝ax³—3ax²+2ax，与原函数待定，得b=—3a；挖掘隐含条件，如当x=3或4时，y >0，代入（*）得a>0，故 b<0.

（法2）由二次函数中常用0、1、—1对应函数值，类比到三次函数，0对应函数值为0，1对应函数值为0，—1对应函数值小于0，得d=0且a＋b＋c+d=0且－a+b－c+d<0，两式相加得2b<0，得b<0．

（至此学生眼前一亮，豁然开朗．）

解后回顾：教师通过问学生“本题解答的关键是什么？”引导学生体悟“类比法”、“挖掘隐含条件”，需要借我一双慧眼吧！

3.3  课堂总结

通过本节课的学习，谈谈你的收获与认识．可从以下两方面进行：

1. 数形结合于解题有什么作用？你将采取什么自觉行动？

（1）能帮助解题．以形助数——某些“代数”问题，可以寻求图形解决，利用图形的直观性；以数解形——某些图形问题，需要通过代数的手段，利用方程、函数等方法．数形结合——数缺形时少直观，形少数时难入微．

（2）要增强数形结合意识，解决问题有时需要侧重在数、有时在形，有时要进行转化，因此，要经常由数想形，比如触景生情．

（3）要提升数形结合能力，要熟悉数轴、一次、二次、反比例函数图象和性质，要知道某些特征字母、式子的几何意义，还要善于把方程的根转化为两函数对应图象的交点问题．

2. 数形结合对你认识问题有什么启发？

能提高认识．数和形本来就是同一个东西的两个侧面，要善于从不同角度看待问题，如从数、形，从正、反等．在数形结合中，有时要与函数方程思想结合，有时要与分类讨论思想结合等．

3.4  课外作业（略）

点评：一节课的效果如何，还需用评价学生的方式来评价教学．学生对知识的理解与运用的情况往往是通过解题来体现的．教学不可能“齐步向前”，也要避免“削峰填谷”．本节课的“当堂练习”除了常规题，还遴选了一道高考题，可谓别具匠心．中考试卷上以高中知识为素材来设计考题也是常有的事，本节课上，对学生而言是“挑战自我”、“拓展提升”，是“数形结合”思想与类比法的综合、灵活运用，需要有“借我一双慧眼”的策略，就教学而言更是“授人以渔”．小结时让学生明晰、回味，既有方法层面，也有意识、能力层面，还有对事物的认识层面．    

 

4  案例总评

在二轮复习阶段，如何帮学生在已有的认知基础上，进行知识点的梳理、串联及方法的构建，数形结合无疑是一种很好的解决途径．数形结合问题原来是散落在各分册、各章节的内容中，现在对它进行梳理，进行强化，一为中考，二为高中学习做一个铺垫，三来能够提升学生的思维及素养．可以说，执教者基于教学之道，在廓清认识、厘清思路的基础上精心设计、合理组织、巧妙实施，取得了理想的教学效果．    

4.1 设计脉络清晰，突出“变”，符合数学逻辑次序

设计思路清晰是高效课堂的重要标志，本节课紧紧围绕两大块内容：（1）解决图形问题，一方面，读出图形背后的代数信息，挖掘隐含信息；另一方面，用代数手段求解（方程、函数、不等式）．（2）解决代数问题，尤其是抽象的问题、关系，通过画出图形，利用图形的直观性，判断解决．培养学生用数形结合的思想解决函数问题．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，让数与形有机完美的结合．教学中十分注重变式教学，在“变”中进行知识的迁移与有效融合，在“变”中不断回归本节课的核心知识——数形结合思想的运用；在“变”中强化学生的理解与运用．

整节课的立意分为为三个层次，引入部分是起始层次，目的是让全体学生都能成功解答；熟练运用知识环节可视为中间层次，体现了中考是有区分度的；第三层次阶段，给少数将进入四星级重点高中的出类拔萃者超众出彩的机会．这是因材施教原则在复习课中的具体体现．

 

4.2 选材有重点，突出“精”，契合学生当前认知状态

数形结合思想是“2011版课标”的核心思想方法，正如数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．同时，选材以数形结合为主，结合分类讨论思想（如例1），结合函数方程思想（如例2）．

本节课上通过引例导入，到课前热身，再到例题解析，最后的拓展提高，由浅入深，层层递进．题目精选了近几年中考中的热点问题，对于初三学生来说，把握了压轴题，基本就赢得了中考的成功，因此这节课的选题充分调动了学生的积极性，使他们跃跃欲试．教师精心挑选的例题，十分具有代表性，在扎实训练双基的同时，使学生体会到数学学习的乐趣．教会学生数学的思想方法，是“授人以渔”，一堂课使学生受益良多．

 

4.3 选材关注初高中的衔接，凸显“高”，提升学生认识水平

从高中教学反馈：许多学生对高一数学很不适应，固然由于高中容量大、进度快，但初中与高中教学的脱节无疑是一个重要的原因．执教者长期从事高中数学与初中数学的教学与研究，从选材上着力于初高中的衔接，高中立体几何经常要涉及平面几何，其重点是线面垂直、线面平行，本课第一道“形”的证明热身题就取自于立体几何线线垂直中的以算代证．高中涉及一次函数、二次函数的最大（小）值往往是在闭区间，初中较少涉及自变量的范围，例1就是一道含参数的一次函数问题，增加了自变量的取值范围，现在从“形”的角度给予引导，不难解决，凸显“形”的魅力，也给学生耳目一新的感觉．类比是一种重要的思想方法，本课给学生素材，从二次函数的交点式：y＝a（x—x₁）(x—x₂) 类比到三次的交点式y＝ax(x—1)（x—2），或者由二次函数某些特征字母的几何意义，类比到三次函数：a＋b＋c+d=0，－a+b－c+d<0，d=0，两式相加，得b<0．让学生从看图获取代数信息，实施代数运算解决问题，目的是让学生学会研究一类问题的方法，从观察、思考到思维提升．

新课标倡导“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验．”本课设计每个问题后都有解题回顾，把个体的解决推广到一般方法与策略．最后的总结部分，经教师启发，学生感悟到数和形本来就是同一个东西的两个方面，或用“形”解，或以“数”解，或数形结合．要善于从不同角度看待问题，如从数与形，从正与反等，使得看问题更全面、客观，也更理性．当然，由于解决问题的需要和中考的综合性，数形结合有时要与函数方程思想结合，有时要与分类讨论思想结合．

雅斯贝尔斯曾说“教育，就是一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂．”作为高中数学特级教师、教研员的王老师上初三复习课是有限的．就这节课来说，更多的是一种复习课的引领，一种教学的导向，引导一线教师用研究的方法进行备课，用研究的视野进行选题，用研究的方式进行教学，也是一种唤醒，是唤醒学生，也是唤醒教师和教育．