解析高中数学教学中培养学生建模素养的途径

江阴市成化高级中学 张龙伍

摘要：建模素养是高中数学核心素养的重要内容之一。在新课改背景下，培养学生的建模素养，受到教育工作者的高度重视。众所周知，建模对学生的综合能力要求较高、难度较大，不少学生对建模充满畏惧，因此，教学实践中，教师应积极寻找有效教学途径，培养学生的建模兴趣与能力，为学生建模素养的提高奠定基础。

关键词：高中数学 建模 途径

数学建模是从数学视角对现实问题、情境进行抽象，运用数学符号、公式构建数学模型，通过数学模型求解，解决问题的一种重要思路。高中数学中涉及的模型较多，包括函数模型、数列模型、不等式模型等，教师应积极总结经验，加强教学研究，剖析经典例题，逐渐提升学生的建模素养。

一、培养建模意识

高中数学教学中，教师一方面注重建模知识渗透，引导学生认识高中数学中的模型，讲解建模的步骤与方法，使学生积累一定的建模知识。另一方面，教师可精选例题，从学生熟悉的模型出发，鼓励学生尝试着建模，提高学生建模的成就感，实现学生建模意识的提升。分析可知，学生对函数知识较为熟悉，因此，教师可讲解函数模型的建立过程，使学生感受建模过程，找到数学建模乐趣。

例1，已知某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）和x间的关系满足p（x）=x（x+1）（39-2x）（x∈N*，且x≤12）。其中第x个月的人均消费额q（x）（单位：员）和x的关系近似为：q（x）=

（1）2017年第x个月旅游人数f（x）（单位：人）和x的函数关系式；

（2）2017年第几个月旅游消费总额最大，最大为多少元？

分析：（1）问知道前x个月的和，求第x个月人数和x的函数关系，显然可知f（x）=p（x）-p（x-1），根据应已知条件便可构建出对应的数学模型。（2）需要根据模型，研究函数关系得出。

（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37；当2≤x≤12，f（x）=p（x）-p（x-1）=-3x²+40x，将x=1也满足此式，因此，f（x）=-3x²+40x（x∈N*，且1≤x≤12）

（2）根据题干及第（1）构建第x个月旅游消费总额模型为：g（x）=，化简得：g（x）

=，求旅游消费总额g（x）。1）当1≤x≤6时，求导可得g’（x）=18x²-370x+1400，当1≤x≤5时，g’（x）＞0，当5＜x≤6时，g’（x）＜0，即，g（x）_max=g（5）=3125万元。2）当7≤x≤12时，g（x）=-480x+6400为减函数，当x=7时取得最大值，g（7）=3040万元，显然第5个月时旅游消费总额达到最大，最大值为3125万元。

二、加强建模训练

建模素养的培养是一个缓慢的过程，需要教师长久的坚持。教学实践中，教师应围绕高中数学的重点模型，创设相关的问题情境，不断对学生进行训练，使学生在训练中积累经验，总结建模的技巧，不断提高建模水平。数列模型较为抽象，难度较大，教师可依托经典例题，对学生进行针对性训练。

某公司2018年起职工工资由基础工资、房屋补贴、医疗费构成（其他费用另外计算，这里暂不考虑）。其中基础工资为每人每年10000元，同时，考虑物价因素，以后每年按照10%的速度增长。房屋补贴为每人每年400元，按照职工到公司的年限，每年按照400元递增；医疗费每年每人1600元固定不变。公司现有职工5人，以后每年均新招5人入职。

（1）以2018年为第一年，求第n年该公司支付工资总额y（万元）和n间的函数关系。

（2）在每年发放的职工工资总额中，房屋补贴和医疗费用总和能否超过基础工资的20%？

分析：（1）中根据题目描述可知，基础工资符合等比数列模型。房屋补贴的理解难度较大，计算时需要应用数列求和知识。讲解该题目时，教师可适当进行点拨，帮助学生构建正确数学模型，促进学生建模能力的提高。解答（2）时可建立比差法模型进行分析、解答。

（1）第n年职工人数为5n，则基础工资为y₁=5n（1+）ⁿ万元，医疗费用总额为y₂=5n×0.16=0.8n万元。

房屋补贴为y₃=5×0.04+5×0.04×2+5×0.04×3+···+5×0.04×n=0.1×n（n+1）。

∴y=y₁+y₂+y2=n[5（1+）ⁿ+0.1（n+1）+0.8]

（2）根据题意及（1）的结论，设y=5（1+）ⁿ×20%-0.1（n+1）+0.8=[10（1+）ⁿ-（n+9）]

∵10（1+）ⁿ=10（1+++···）＞10（1+）=10+n＞n+9

即y＞0，则在每年发放的职工工资总额中，房屋补贴和医疗费用总和不会超过基础工资的20%

三、提升建模技能

高中数学教学中，为培养学生的建模素养，教师应增加数学内容讲解难度。基本不等式是高中数学的重要内容，构建及解答不等式模型的技巧性较强，教学实践中，教师应提高认识，创设相关问题情境，以提升学生分析数学问题、以及数学建模能力。

例2，某工厂生产产品的次品率p和日产量件x之间存在的关系为：p=（x∈N⁺，0＜x≤100）.已知一件正品盈利a元，生产一件次品损失元。为获得最大盈利，日产量定为多少件合适？

分析：要想求解最大利润，需要构建日利润y和日产量x的关系。假设日产量为x件，则次品个数为：·x，正品个数为（1-）x，如此便不难构建对应的数学模型。

根据分析可知，日利润y和日产量x的关系为：y=a（1-）x-·x=（0＜x≤100，x∈N⁺），令108-x=t，t∈[8，108]，t∈N⁺

y==≤=，当且仅当t=时，即t=12，x=108-12=96时，即每天生产96件产品时，日利润最大。

四、结论

数学模型在人类生产生活中应用广泛，因此，在高中阶段培养学生的建模素养具有重要的现实意义。在高中数学教学中，教师需不断总结教学经验，优选经典例题，通过培养学生的建模意识、加强建模训练、提升建模能力等途径，使学生掌握建模方法、建模技巧，实现建模素养的进一步提升。

参考文献：

[1]汤晓春. 高中数学教学培养学生数学建模素养的实践[J]. 教育理论与实践,2017,37(26):62-64.

[2]魏迪. 在高中函数教学中培养学生数学建模能力的研究与实践[D].山东师范大学,2018.

[3]李倩,郭天印. 高中数学教学培养学生数学建模素养浅析[J]. 课程教育研究,2018(24):98-99.