------第一部分什么是数学 第1章

《新数学教育哲学》一书的作者是郑毓（yù）信（南京大学哲学系教授、博士生导师），华东师范大学出版社。这类书，曾经也看过几本，像天书一样，看的时候没有啥感觉，及其困苦。因此，此书力争一年内读完，没有感觉就进行摘录，一切从自己的认知出发，若感悟错了再回头修正。

书中对哲学的认识是：相对于各种具体的结论而言，哲学更应被看成一种思维方式，或者说，这正是哲学的主要功能，即有助于人们更为深入地去进行思考，特别是批判与反思，从而也就可以获得更为深入的认识。

“什么是数学”，好像记得无锡教科院周院长曾经讲过2回（我听他的几次讲座报告中）有关这方面的内容，当时也听的云里雾里，由于没有去研究过，所以现在一点印象也没有，我想下次如果再能听到周院长关于这方面的内容，或许会有点感觉。第一章读完，发现“什么是数学”其实是没有明确的定义的，尽管《2011新的课程标准》中第一句话就是：数学是研究数量关系和空间形式的科学。这个也是从马克思和恩格斯的著作中的解答，书中对“什么是数学”有几十种解读，至今没有统一的定义，源于数学观念的多样性。有几个解读我还是很感兴趣，比如：数学是“一种研究思想事物的抽象的科学”（恩格斯）；“我几乎更喜欢把数学看作艺术，然后才是科学，因为数学家的活动是不断创造的．．．．．．数学的严格演绎推理在这里可以比作画家的绘画技巧。就如同不具备一定的技巧就成不了好画家一样，不具备一定准确程度的推理能力就成不了数学家．．．．．．（但）这些都不是最主要的因素。还有一些远比上述条件难以捉摸的素质才是造就优秀艺术家或优秀数学家的条件，其中有一个共同的素质，那就是想象力。”（M．Bocher）；“在最广泛的意义上，数学是一种精神，一种理性精神。” （M．Kline）；“数学作为人类思想的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理，以及对于完美境界的追求。他的基本要素是：逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个性。。。。。。”（柯朗、罗宾斯，《数学是什么？》）

直觉V逻辑。他们是必要互补，“逻辑和直觉各有其必要的作用，两者缺一不可。唯有逻辑能给我们以可靠性，他是证明的工具；而直觉则是发明的工具。”（彭加莱《科学的价值》）

抽象V具体。抽象与具体的相互转化事实上也可被看成数学学习活动最为主要的一个特征。具体地说，由于数学对象并非经验世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物，因此，任何一个数学学习活动都以主要如何能在思想中实际建构出相关的数学对象作为必要的前提。这也就是指，如果我们不能首先在思想中实际地建构出相应的对象，即使得借助于语言“外化”了的对象重新转化为思维的内在成分，我们就不可能获得任何真正的数学知识。当然，这里所说的“建构”又并非是指我们在头脑中机械地去重复相关对象的逻辑定义或推理过程，而主要是一个“同化”的过程，也即如何能把新的知识纳入到主体已有的知识体系之中，并使之真正成为整个知识体系的一个有机组成部分。从而，这事实上也就必定包含有“具体化”这样一个涵义，也即如何能够使得抽象的数学概念和结论等对于主体而言真正成为“有意义的”。

事实上，后者也正是通常所谓的“理解学习”的一个基本涵义，即我们如何能由相关对象的外在形式逐步深入到内在的本质，特别是，如何能够使得原先十分抽象的概念的理解而言，我们就应十分重视相关特例的考察。只有通过这样的“具体化”，我们才能弄清相关概念的直观背景，包括如何能将新的概念与先前已掌握的其他概念很好地联系起来。

除去“同化”以外，这也是认识活动的又一重要内涵，即新的认识往往也意味着已有认识框架的必要重建（顺应）。就数学学习而言，后者主要地又可被看成一个不断“优化”的过程，包括抽象层次的不断提高。也正因此，前述的“具体化”事实上也就可以被看成为新的抽象提供了直接的基础。

一般化V特殊化。这个两者的关系在具体解题技巧中，本人掌握的还可以，读完这节，头脑中可以直接举例，前面的内容只能依稀感知一点，恼火的是这样的理论书缺具体的案例，所以导致读者感觉像天书。特殊化在数学解题中的作用已经有了较为透彻的研究。一般流程：（1）通过特殊化可以更好地弄清题意；（2）通过特例的考察即可对结论与可能的解题方法作出猜测，有时我们更可通过由一般向特殊化的化归解决原来的问题；（3）我们还可通过新的特例对已获得的结论作出必要的检验。与此相对照，就一般化方法而言，人们则往往只是注意了他的构造功能，也即如何以某个特殊的数学对象为基础并通过“弱抽象”构造出更一般的对象，但却忽视了这一方法在数学解题中的作用。关于这点，初中数学的各类杂志把他简单的总结为“貌似并列实则递进”的解题策略，可以很好的解读特殊到一般，还有就是交规法作图等。一般化与特殊化的辨证运动正是数学发展的又一基本形式。