------第一部分什么是数学 第2章第1节

《新数学教育哲学》一书的作者是郑毓（yù）信（南京大学哲学系教授、博士生导师），华东师范大学出版社。

阅读了第2章的大部分内容，给我一个直观的感觉，“什么是数学”，和老子《道德经》的道一样，道可道非常道。数学是没有真正的定义，而只能沿着数学历史的发展去解读，从不同的时代和观念和不同认识的人去解读和理解。感觉数学又和哲学一样，是辨证的统一的，和太极二仪一样，你中有我，我中有你，把数学一定说成某种模式或艺术的又不正确。

“数学模式论”笼统的说，即可被看成“什么是数学”这一问题提供了直接解答，更是对于抽象性质的明确肯定，从而也就直接涉及数学的本体论问题与认识论问题。

数学是模式的科学。数学在古代早期发展而言，人们主要通过观察或实验以及对于经验事实的简单归纳获得了关于真实事物或现象量性属性的某些认识。现在来看，经验知识不能看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应是关于抽象的数学对象的研究，而非对于真实事物或现象量性的直接研究。比如：“三角形具有什么性质？而不是指”三角形事物”具有什么性质？再比如：“我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们再学校中学的是抽象的乘法表，而不是男孩数目乘以苹果数目。”“几何中的直线，而不是拉紧了的绳。”这些我们是认为数学的特性为数学的抽象性，即认为全部数学对象都是抽象思维的产物。恩格斯就曾明确指出：“全部所谓存粹数学都是研究抽象的。”（自然辨证法）又因为所说的抽象显然包括了由特殊到一般的过渡，因此，相对于真实事物或现象的直接研究而言，以抽象思维的产物作为直接对象去从事研究就具有更为普遍的意义：它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特性。

数学研究对象，即概念和命题，都具有超越特殊对象的普遍意义，它们都是一种“模式”。进而，从这一角度去分析，数学则可被说成“模式的科学”。我们判定一个（数学）问题“好”和“坏”的一个重要标准：好的数学问题应当具有普遍的意义，即能够反映一类问题的共同特性，从而也就是一种模式。与此相反，如果一个问题不具有所说的普遍意义，就会被看成“怪题”、“偏题”，从而也就不会得到人们的普遍重视。无论数学概念、命题（理论）、问题或方法等，事实上都是一种模式。又由于数学可以被看成这些成分所组成的复合体，所以说数学是“模式的科学”。正是我们能否认为学生已经较好地掌握了相应数学知识的关键：学生已经由经验的认识总结出了相应的模式，从而也就能够有效地应用相关知识去解决新的类似问题。

任何一个科学概念也都是抽象思维的产物，因为，其中必定包含由对于现实原型的一定简化与理想化。也正因此，为了清楚地说明数学的特殊性，我们就必须从抽象的内容、量度与方法等方面对于数学抽象作出进一步分析。

第一，数学是从量的方面反映客观实在的：数学的抽象仅仅保留了事物或现象的量的特性，但却完全舍弃了它们的质的内容。这里的量不应被看成一个静止的、僵化的概念，比如：“数”和“形”曾是“量”这一概念的两个基本意义，从而也就有“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这一说法，但今天在机械的坚持这一说法是不当的。

第二，数学抽象的特殊性还表现于它的量度：数学的抽象程度远远超出一般自然科学中的抽象并达到了更大的高度。具体地说，尽管一些基本的数学概念具有较为明显的现实意义，但数学中又有许多概念并非建立在对于真实事物或现象的直接抽象之上，而是较为间接的抽象的结果，即在抽象之上进行抽象，由概念去引出概念。另外，更为重要的是，数学中还有一些概念与真实世界的距离是如此遥远，以至于常常被说成“思维的自由创造”。

我的思考：对于我教的普通乡镇的初中学生来说，我想，我们本身教给学生的就是数学发展史上几百年前的内容，这样一想也就明白了为什么2011新的课程标准把数学定义为：数学是研究数量关系和空间形式的科学，这是有一定的道理的。现在教学生只要能从现实原型进行抽象，研究他们量之间的关系，这个是为今后高度抽象打下伏笔的。想到几何新授课的实物情景---抽象成数学问题---借助已有经验研究等，突然头脑联想到钱云祥教授在屿山湾上的空间折叠和展开的一课，及周院长在南菁初中讲的空间折叠，借助于现实几何模式，进行空间到平面的想象（抽象），有些可以动手操作，但还有些必须进行想象，回头想想还是很有意思的。

模式是抽象的产物，而不是现实世界中的真实存在。相对于现实原型而言，所说的建构显然包含有理想化、简单化的涵义。数学建构的形式特性可以被看成最为集中地体现了数学抽象在方法上的特殊性。与现实原型想对照，数学抽象是一种“重新建构”的活动，我们也就以这种建构活动的产物作为数学研究的直接对象。

数学不应简单地被看成一门“经验科学”，数学抽象的形式特性，前者立足于经验世界，后者则已将着眼点转移到数学内部。数学的特殊性：由于相对于可能的现实原型而言，数学对象的引入是一个“重新建构”的过程，也即在一定程度上意味着与真实的分离，从而就为数学的自由创造提供了现实的可能性。比如：模式的多样性；抽象的间接性与层次性。数学抽象未必以真实事物或现象作为直接原型，也可以是以已得到建构的数学模式作为“原型”的间接抽象。

数学是通过相对独立的量化模式的建构，并以直接对象从事客观世界量性规律研究的，而且，现代数学的研究对象已从具有明显直观意义的量化模式扩展到了可能的量化模式。