《新数学教育哲学》摘录和草根感悟03

------第一部分什么是数学 第2章第2节

《新数学教育哲学》一书的作者是郑毓（yù）信（南京大学哲学系教授、博士生导师），华东师范大学出版社。边读边想，“什么是数学”？自己无从回答。也就想读此书有什么用？对初中数学教育教学起啥作用？自己也感觉迷茫，因此用：读“无”用之书，养淡然之境，作标题表达自己读此书的目的，但有一点可以肯定的是，虽然看不懂，但还是能读进去的，比之前看的数学教育哲学书感觉好多了。

反复浏览了几遍第2章第2节，本节主要阐述模式论的数学本体论与数学认识论之间的辨证关系。数学究竟是一种发明的活动，还是一种发现的活动？

所谓的“数学本体论问题”，简单地说，就是关于数学对象实在性问题的具体认识，也即数学对象究竟是一种什么样的存在？我们在数学中所从事的是一种客观的研究，我们不能随心所欲地去创造数学规律，而只能按照数学对象的“本来面貌”去对此进行研究。我们应当把数学对象看成完全不依赖于人类思维的独立存在，我们在数学中所从事的则又完全是一种发现活动，这个就是数学实在论观点（柏拉图主义）。反实在论：数学对象只是一种抽象的存在，也即只是由于数学家的抽象思维才获得了独立的存在性（古希腊著名的哲学家亚里士多德）。反实在论在现代数学哲学中的表现而言，我们则也应当特别提及直觉主义与形式主义的数学观。

具体地说，直觉主义者突出强调了数学对象对于思维的依赖性，即认为数学对象是纯粹的“心智构造”。从哲学的角度看，直觉主义的这一观念可以被看成中世纪的“概念论”在数学中的具体表现。他否定了数学的现实意义及其对于认识主体的相对独立性。形式主义认为，数学对象只是毫无意义的的符号（符号系列），数学家们所从事的则是按照指定的法则去对符号或符号系列进行机械的操作（组合、分解或变形）。

数学是以量化模式为直接的研究对象，而模式则是抽象思维的产物。

由于模式是借助于明确定义得到建构的，而且，在严格的数学研究中，我们又只能依靠所说的定义和相应的规则去进行推理，而不能求助于直观，因此，尽管某些数学概念在最初很可能只是少数人的“发明创造”，但是，一旦这些对象得到了建构，它们就立即获得了确定的“客观内容”：对此人们只能客观地加以研究，而不能再任意地加以改变。即直接促成了数学对象由纯主观的“思维创造”向相对独立的“思维对象”的转化。

数学研究既是一种发明，同时也是一种发现的活动。

模式论的数学认识论。什么是数学知识可靠性的最终依据？是数学知识的先验性质，还是更加强调数学知识的经验性质？

“先验论”的根源就是对于数学知识绝对真理性的确信。这明显是不全面的，很明显的就是我们现在学生在学的几何是欧氏几何，建立在基本事实和公理的基础上进行演绎推理和发展的，很明显还存在非欧氏几何。数学现代发展的一个主要特点：研究对象已经由已给出的量化模式过渡到了可能的量化模式。

尽管有些数学理论在创立初期并不具有严格的逻辑基础，甚至被发现包含有矛盾，但由于在实际活动中获得了成功应用，数学家对此仍然坚持积极肯定的态度，而事实上也正是数学能得到顺利发展的一个重要原因。

数学的“拟经验的数学观”，首先就是指数学不应被看成某种先验的真理，而必定有一个后天的检验、调整、改进与发展的过程；其次，我们在此又不应唯一地强调“外部力量”的作用，而应清楚地看到“内部因素”在这方面也发挥了十分重要的作用。

“美学标准”与“纯数学的标准”。在实际的数学研究中数学家们往往会依据“美学的考虑”去作出必要的选择或对理论的意义作出具体判断。“美学标准”正是对于数学创造自由性的直接肯定。这也十分清楚地表明数学的艺术性质。事实上，数学美的这种客观性正是数学与艺术的一个重要区别：“在判定数学作品的价值时意见近乎一致，而判定其他艺术品的价值时情形截然相反。随着数学本身的发展以及人类文明的进步，数学美的概念也必然地会有一定的发展和演变。但从历史的角度看，其基本内容又是相对稳定的。对称性、简单美、统一性和奇异性正是数学美的主要内容。

这里的数学的对称性、简单美、统一性和奇异性我曾经在一本书中看过，他以案例的形式诠释了数学的对称性、简单美、统一性和奇异性等的数学美，让我在实践解题中经常使用，其中割和补的意识很强，我把他称为数学的和谐美，这个很又意思，和学生讲解时，我经常渗透。

尽管对称性、简单美、统一性和奇异性可被看成数学美的主要内容，但由实际的数学活动我们又可以看出，数学家们并非纯粹地为艺术而艺术，他们对于美的感受和追求往往以数学上的考虑作为直接背景或目的，这也就是说，数学家们所追求的是：在极度无序的对象（关系结构）中展现极度的对称性，在极度复杂的对象中揭示极度的简单性，在极度离散的对象中发现极度的统一性，在极度平凡的对象中认识极度的奇异性。显然，这事实上也就说明了对美的追求何以能够促进数学的发展。

我们既应明确肯定数学中对于美的追求具有重要的方法论意义，同时也应看到这种美学的标准在很大程度上从属于数学的考虑。

我们应当充分肯定美学因素在数学研究中的重要作用，但又不能从纯粹美学的角度去从事数学研究。

数学家特别强调的两个标准：“富有成果性“和”富有启示性“。

麦克莱恩明确提出关于数学抽象的“广度”、“清晰度”与“深度”这样三个标准：“为了使抽象沿着正确方向确切地前进，需要这三个概念。”其中“清晰度”可以被看成抽象本身的必然要求：“抽象已经增加了对表示清晰性的要求：如果研究的对象是抽象的，那么它一定要通过精确而抽象的描述来理解，而不是通过通过他的直观内容来理解”；其次，概念的“广度”指应用场合的多样性，包括“在数学内部或外部应用这个课题的其他领域”；最后，“一个数学概念的深度涉及到这样一种途径，按此途径这个概念发展成待解决问题所基于的不明显但更基本的结构和概念”，这也就是指，我们应当“选择能导致所研究问题心脏的抽象过程。”

“经验的标准”集中体现了数学认识活动的渊源与最终依据，特别是，就现代而言，我们更应注意数学在自然科学中的应用，那么，这就是“数学的标准”的主要涵义：数学也可单纯凭借内在力量得到一定的发展。问题的提出----问题的解决----新的问题的提出----。。。。。。数学思维---思维内容---新的思维活动---新的思维内容---。。。。。。。

我们在充分肯定“经验的标准”与“数学的标准”相对独立性的同时，我们又应清楚地看到两者的内在统一。数学研究的各个标准，包括“数学的标准”、“美学的标准”和“经验的标准”等，都只是表明了数学研究的不同侧面，从而也就是互相补充、相互渗透的。

数学历史发展显然已清楚地表明了在纯数学的研究与数学的实用价值之间存在的辨证关系。我们应当充分肯定数学认识活动的相对独立性，又不应把数学看成完全封闭的一种活动，恰恰相反，数学是整个社会实践的一个重要组成部分，数学的发展更是其内部力量与外部力量共同作用的结果。