《分数乘分数》课堂实录与评析
《分数乘分数》课堂实录与评析
执教：江阴市南闸实验学校 徐国惠
评析：江阴市教师发展中心 匡金龙
教学内容：
苏教版数学第十一册第34-35页的例4、5以及试一试和练一练，完成练习六第1～6题。
教学目标：
1、通过与整数乘分数的沟通，理解分数与分数相乘的意义；通过想象和直观操作，理解并掌握分数乘分数的计算方法。
2、在合作探究活动中，让学生经历感知、操作、观察、猜想、归纳、验证、推理的过程，进一步发展学生的演绎推理和合情推理能力。
3、让学生再次感悟数形结合思想在数学学习中的重要性，增强探究数学知识的积极性和主动性。
教学重点：
探索并掌握分数乘分数的计算方法，能正确计算。
教学难点：
借助数形结合的思想，通过直观操作理解并归纳出分数乘分数的算法。
一、由旧引新，类推迁移
1、复习
一块6000平方米的菜地，其中种植土豆，种植土豆的面积是多少平方米？
师：怎么列式？为什么用乘法计算？
生：求一个数的几分之几是多少用乘法计算。
师：对，求6000的是多少，用乘法计算。
2、改题导入
师：如果把平方米改成公顷，6000平方米等于多少公顷？你会用分数表示吗？
生：公顷
师：那就变成了这样一道题目：一块公顷的菜地，其中种植土豆，种植土豆的面积是多少公顷？怎么列式？
生：×（板书）
师：为什么也是用乘法计算呢？
生：也是求一个数的几分之几是多少。
师：其实，这里的公顷就是刚才的……
师：所以，不管求的是整数的几分之几，还是求分数的几分之几，只要是求一个数的几分
之几是多少都可以用乘法计算（屏幕上显示）
3、揭题
师：整数乘分数我们已经会算了，分数乘分数又该怎样算呢？这就是我们今天要研究的内容
（板书分数乘分数）
【评析】从整数乘分数的实际问题改题引入本课，是为了借助整数乘分数的意义类推到分数乘分数的意义，这样就能更宽泛地概括出不管是求整数的几分之几，还是求分数的几分之几，只要是求一个数的几分之几是多少，都可以用乘法计算。培养了学生概括和类推的能力。
二、数形结合，探究算法
（一）初探算法
1、引出画图
师：×这个算式的结果是多少呢？有人知道吗？
生：
师：这个结果对不对呢？有什么道理呢？好像有点困难，不着急，同学们，当我们遇到难题
的时候，我们常常会请助手来帮忙，我们一般请哪个助手来帮忙？
生：画图。
师：对啊，我们可以画图来分析
2、画图
师：那我们就一起来画图思考，公顷的可以怎么画图呢？先画谁呢？
生：公顷
师：公顷怎么画？接下来画什么？
生：公顷的
师：难题来了，公顷的我们可从没画过，你们会画吗？
生：会的
师：怎样画才能看出结果呢？结果是多少呢？ 小组合作完成。
【评析】画图的呈现，必须基于一定的需求。当学生纠结于×的结果时，必定会想方设法进行验证。教师要做的，只是立足于知识的原点，通过“不经意”的询问和点拨，和学生一起明朗“分数”与“图形”的内在联系。在这样的互动过程中，“数形结合”自然生成，内在关联逐步建构，难点有效突破。
3、交流
师：你们画的图看得出结果吗？老师呢收集了两个小组的作业，我们一起来研究。
师：看这一组的作业，派个代表和大家交流一下你们是怎么画的？
生：我们是把公顷平均分成4份，取3份
师：为什么是把涂色部分平均分成4份而不是把整个图形平均分成4份？
生：因为是求公顷的
【评析】在此之前学生接触到的分数都是把整张图看作“1”来平均分的，而今天是学生第一次接触分数乘分数，在画图的过程中是把涂色部分看作“1”，并非是把整张图看作“1”。这对学生画图和寻找结果来说都是至关重要的。
师：那结果是多少呢？
生：
师：那我们切换到电脑屏幕来看一下，你们是怎么看出的呢？
生：把分割线延长就一下子看出来了
【评析】从分数的意义层面上来讲，第二次分的时候只需要在涂色部分画分割线，但是为了更加清楚地看出结果，有必要呈现出分割线延长的动态过程。
师：分了再分一共分了多少份？
生：每排有4份，有这样的5排，一共是20份。
师：所以20份表示的就是什么？
生：一共平均分的份数。
师：取了再取一共取了多少份？
生：每排有3份，有这样的3排，是9份
师：所以9份表示的就是什么？
生：最后取的份数。
师：一共平均分成了20份，最后取了9份，这个答案正确吗？
生：正确。
师：可是老师刚才在巡视的时候看到有的同学起先还画了这样的图，把涂色部分横镇平均分
成了4份取3份，还画了这样的图，沿对角线平均分成了4取3份，可是后来为什么又
都擦掉了呢？
生：看不出结果。
师：看来画图是有讲究的，这一幅图第一个分数横着分，第二个分数竖着分，这样能更清楚地看出分数乘分数的结果。
师：刚才我们为了找到结果，采用了画图的方法，通过画图把数和图形结合起来这是一种非
常重要的数学思想方法，叫做数形结合。
【评析】学生画图的方法必然是多样化的，画图之前明确画图的意义和目的，既保证了画图的多样化，同时更体现了学生在选择画图方法时从发散到统一的思辨过程。
（二）建构算法
1、类推
师： 公顷的是多少公顷？怎么列式？
生：×
师：想要知道结果的话我们就可以……
生：画图。
师： 公顷的是多少公顷？怎么列式？
生：
师：想要知道结果我们仍然可以…….
生：画图。
师：那如果是这道题目呢，的是多少？怎么列式？
生：
师：想要知道结果的话你还愿意画图吗？
生：不愿意。
师：怎么了？
生：太麻烦了。
师：怎么办？
生：找到计算方法。
2、法则初探
师：看来数形结合很重要，但是我们还需要数学思考，所以我们在画图解决上面两题的时候
就要一边画，一边算，还要一边想。拿出作业纸2，小组合作完成。
3、交流展示
师：谁愿意来当一回小老师，结合其中的一道题目到前面来和大家交流一下你们是怎么画的？
你们又是怎样算的？ 最后你们发现了什么？
生：我们是把涂色部分竖着平均分成了7份，取了其中的2份，分母上就是5×7，分子上是
3×2，结果就是。我们发现了分数乘分数只要用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
师：大家有没有问题要问问这位小老师的？
生：分母上5×7=35算的是什么？
生：一共平均分的份数。
师：说的真好。那谁来问第二个问题？
生：分子上3×2=6算的是什么？
生：最后取得份数。
师：这位小老师讲得好不好？掌声送给这位小老师。再请一位同学结合另外一道题目说一说。
4、归纳
师：同学们你们同意他们俩小组的算法吗？
生：同意。
师：他们是怎样算的谁再来说一说？
生：分数乘分数，只要用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
【评析】通过小组合作、自主探究的方式让学生自己经历法则获得的过程，并且通过生生互动、师生互动初步建构了计算方法，这才是以生为本、以学定教的课堂。
（三）验证算法
师：这几道题目都可以这样算，思考一下，其他的题目是不是也可以这样算呢？
生：是的。
师：那我们再来看两道题目是不是真的如你们所说。
，按照你们的算法结果是多少？
生：
师：到底是不是这么多呢？我们还需要画图验证一下。涂色部分表示？
生：
师：接下来该怎么画？
生：把涂色部分平均分成5份，取其中的4份。
师：结果好像不是么？
生：是的
师：怎么看出来的？
生：把分割线延长下去。
师：好的。赶紧看一下，一共平均分成了多少份？
生：35份。
师：最后取了多少份？
生：6份。
师：那我们算出的结果对吗？
生：对。
师：再来一题（流程同上）。
师：再回到刚开始的例题，我们从图上看出了结果是，如果按照我们发现的方法计算，
是这个结果吗？
生：是的。
师：那谁来算一下。
生：（板书）
师：这么多题目，都可以这样算，那还需要再举例吗？看来我们刚才得到的算法是正确的。
如果大家还不信，可以课后继续举例验证。所以以后遇到分数乘分数就只要用……
生：齐读法则。
师：为了书写的简洁，中间这一步可省略不写。
师：还记得刚开始的那道麻烦的题目吗？
生：记得。
师：不画图你能算出结果了吗？
生：能。
师：结果是多少？
生：
师：回顾一下，我们是用了怎样的方法来研究的？
生：画图。
师：是的，我们通过选择最优的数形结合的方法帮我们找到了分数乘分数的计算法则。
【评析】每一个算法的得出，都需要大量表象的积累。通过循序渐进的三层互动，学生实现了从解决问题到数形结合、从理解图形到运用图形、从借助图形到抽象图形的转变，算理也在这样的问题解决中逐渐明朗，算法应运而生。
三、练习应用，巩固算法
1、基础练习
师：分数乘分数的题目会算了吗？
生：会了。
师：可是计算题是不是只要会算就行了？
师：还有什么要求？
生：还要算的对，算的快。
师：那下面我们就来比比看谁算的对。
师：怎么等于呀？
生：可以约分的。
师：是的，计算结果能约分的要约分。
2、优化算法
师：下面我们要比的是看谁算的又对又快。
，准备好！3-2-1，开始。
师：老师呢收集了两位同学的作业。我们来看下这位同学做的，
师：有没有什么问题？
生：没有约分
师：可以怎么约分，63和84可以约几？
生：同时除以7
师：，这样可以了吧？
生：还可以约呢。
师：哦，还没约完啊！约几呢？
生：约3.
师：
师：我们再来看一下这位同学做的
师：结果也是，正确吧！那你们更喜欢哪一种做法？
生：第二种。
师：为什么？
生：如果计算了以后再来约分数字变得很大，约分起来比较吃力。
师：所以我们遇到分数乘分数，我们要先观察能不能约分，能约分的，要像他这样先约分再
计算，这样就快了。请这位同学来说一说他是怎么约分的。
生：7和14同时除以7。
师：这个分子7和分母14可以同时约7。
生：9和6同时除以3.
师：这个分子9和分母6可以同时除以3，最后的结果就是。这样一来就快多了吧。
【评析】数学教学不是简单的告诉，每一种方法的背后都蕴藏着智慧和光芒。这样的智慧需要一定的情境，更需要学生自主感悟并发现。两种不同计算方式的比较，给学生在计算速度上带来的体验有着巨大的反差，在这种体验之下的择优过程更是刻骨铭心。学生将无一例外的选择先约分，再计算，相对于先计算，再约分而言，一定能比第一种算法算得更对、更快。
师：那下面我们再来四题，就是看你的眼力，比你的约分能力。
3、沟通
师：最后这个题目是我们今天学的吗？
生：不是。
师：它是我们之前学的分数乘整数，是怎样算的？
生：分母不变，分子和整数相乘。
师： 是这样吧，所以结果等于。那你能用今天学的分数乘分数
的法则来计算吗？想一想，可以怎样算？
生：
师：这样就转化成了分数乘分数。看来分数与分数相乘的方法同样也适用于分数与整数相乘。
师：本来两条法则，现在我们就只要记住这一条法则了。数学学习就是这样，我们要善于发
现知识的前后联系，认真比较，仔细沟通，这样才能融会贯通。
【评析】看似简单的算法，其实并不简单。一方面需要基本算理的支撑，另一方面也需要在具体的比较和辨析中提升。辨析算法最后一个案例的呈现，唤醒了学生已有经验，更让学生自主建立了新旧知识的联系，分数乘法的算法也顺势统一。
4、总结
师：同学们，今天这节课我们一起研究了分数乘分数，你有什么收获
生1：学会了分数乘分数的计算方法
生2：能约分的要先约分
生3：知道了分数乘分数的方法同样也适用于分数与整数相乘
生4：学会了数型结合思想
…………………….
师：真棒！满满的收获。满满的喜悦
5、实际应用
师：可是熊大和熊二却吵了起来，这是怎么回事呢？一起去看看
熊大和熊二喝一杯蜂蜜，熊二吃了一杯蜂蜜的2/5，熊大吃了剩下蜂蜜的的2/3，熊二说：
“熊大，你吃得比我多。”熊大说：“笨蛋，我们吃的一样多。”到底谁吃的多呢？
师：你能运用今天的知识来解决这个问题吗？
6、结语
师：今天这节课我们不仅学到了数学知识，还收获了数形结合这一重要的数学思想方法，相
信在今后的学习中，我们一定还会用到这一方法去解决更多更难的数学问题
【评析】引导学生对自己学习过程的回顾与反思，是学习活动的重要组成部分，是学生学好数学的必备能力。教学结尾，引导学生反思学习过程，再一次感受到“数形结合”思想方法的价值，为学生后续发展积聚动力。
【总评】本课是苏教版六年级上册第三单元的内容,它是建立在分数乘整数的基础之上，同时也是以后学习分数除法及分数四则混合运算的基础.教学重点是让学生理解分数乘分数的意义及计算方法，难点是理解算理。教材的编排意图主要是借助图形语言，让学生通过想一想、画一画、比一比等途径，理解分数乘分数的意义，探索和发现分数乘分数的计算方法，最终统一分数乘分数和分数乘整数的计算方法。
徐老师能基于新课程标准，充分把握教材，并创造性地使用教材，精心设计学生数学学习的活动与过程，更加关注学生的学习需要，更加关注学生自主建构知识的过程，更加关注数学思考方法的渗透及数学活动经验的积累。注重让学生长知识、长智慧，具体来说有以下三个方面的特点。
一、创设情境，激活经验
建构主义学习理论认为，学习是学生主动的建构活动，学习应与一定的情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。教学中，徐老师通过创设情境引导学生复习分数乘整数的意义及计算方法，然后通过改变问题引入分数乘分数的学习，并借助整数乘分数的意义类推到分数乘分数的意义，同时通过设疑“整数乘分数我们已经会算了，分数乘分数又该怎样算呢？”创设了一个引发学生认知冲突，而又与新知息息相关的问题情境，启发学生运用已有经验直接去研究新问题，解决新问题。
二、数形结合，逐步建构
“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。确实，以形思数、以形助数、数形对照，有利于学生理解算理，把握算法。本课教学中，由于分数乘分数的算理较难理解，于是徐老师采用了“数形结合”的方法，帮助学生理解分数乘分数的意义及算法。
在探索分数乘分数的算法中，徐老师安排了三次探究活动：一是以×为例，借助图形的直观，巧妙地采用了数形结合的办法，逐步引导学生在长方形之上表示出的，用形象直观的语言：“分了再分一共分了多少份”“取了再取一共取了多少份”， 让学生清清楚楚地感受到分数乘分数算法背后的原理——再均分，通过不断地追问、质疑、交流，形成对分数乘分数意义和算法的初步认识。二是通过小组合作、自主探究的方式让学生自己经历法则获得的过程。教学中，徐老师借助这一数据较大的分数，引导学生体会画图计算的局限性，逼迫学生总结前面画图计算的经验，依据经验去探索更高效、更一般的方法。同时在探索过程中引领学生感悟由特殊到一般的合情推理方法，使学生实实在在地感受到数学思想方法的温度及伸手可及的距离。在继续探究×和的算法时，教师为学生提供了充足的动手操作、独立思考的空间，让学生在“画、想、说、议”等活动中进一步感悟分数乘分数的意义和算法，为算法的最终建构奠定基础。三是引导学生想像验证操作，进一步确认算法。前面分数乘分数的算法是采用不完全归纳法进行合情推理得出的，所以徐老师设计了验证环节，通过两道题目的验证再加上例题回头看，提高学生对算法的可信度，最后用“课后继续举例验证”的教学语言来弥补合情推理的不足。
三、顺势而行，自然生长
徐老师非常注重知识的自然生长。知识的生长应该如植物的生长一般，在阳光雨露的滋润下，顺势而行，自然生长。因此，儿童的数学学习过程应该像流水一样自然，数学知识累积应该像生长一样自然，数学思维形成应该像呼吸一样自然，数学经验获得应该像玩耍一样自然。为了能清晰阐述×结果的正确与否，“数形结合”自然出现，为了能快速算出，“初步算法”自然生成；为了能简便算出，“能约分的先约分的优化算法”自然生成……就是在这样的自然生成中，学生经历了由“问题-算式-图形-算法”转化的过程，真正实现了算法的自主建构了。