假设与调整

执教　江苏省江阴市璜土实验小学  黄晓旦

评析　江苏省江阴市中小学教研室　匡金龙

 

教学内容：苏教版国标本六年级上册91、92页

教学目的：1、让学生理解假设和调整在解决某种具有双重条件的数学问题中的价值。

2、让学生初步学会联合运用假设和替换的策略解决问题。

3、进一步培养学生独立思考、主动与他人合作交流等习惯，积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

教学重点：掌握方法正确应用。

教学难点：理解方法的形成过程。

教学过程：

一、策略的引入

1、弄清问题结构，明确解题难点

A、提出满足一个条件的问题

师：同学们老师这里有很多钱（学具），这是几元的?（出示2元币的学具卡片）

生：2元.

师：那这些呢？

生: 5元.

师：现在要从这些钱中拿出10张（板：共10张），可以怎么拿？

生1：拿5张2元，5张5元

生2：拿1张2元，9张5元

师：怎么拿钱最多？怎么拿钱最少？

生3：拿10张5元的，这样拿钱最多.

生4：拿10张2元的，这样拿钱最少.

……

师：拿10张当然很简单，拿法有很多种, 我们就不一一列举出来了。

B、提出要同时满足二个条件的问题

师：现在老师再添上一个条件，你拿的十张必须正好是29元，两种钱应该各拿几张呢？现在还能随便拿吗？

生：不能随便拿了.

师：为什么不可以？

生：因为现在拿的钱既要10张还要29元。

师：要同时满足两个条件. 这就是解决这道题目的难点

评析：本节课选取的关于钱的素材既贴近学生生活实际又直观便于操作。分两次提出问题，既让学生弄清了问题的结构，同时也明确了解题的难点。

二、策略的建构：

1、在操作中感知策略

师：如果不许乱猜乱蒙，想想看要满足两个条件应该怎么办？

生：先满足一个条件，再满足另一个条件。

师：10张、29元这两个条件，先满足哪一个呢？

生：先满足10张

师：为什么？

生： 10张这个条件比较简单。

评析：学生在生活中已有用逐步满足的方法解决一些复杂生活问题的经验，教者通过精心提问激活了学生已有经验，明确了大的解题方向，即先满足简单的条件，再想办法去满足另一个条件。

A、提出假设

师：但拿十张的情况太多了，选哪一种呢？这样吧，我们不妨就假定其中的某一种，你想假定哪一种？

生：假定10都是2元，……

生数，师黑板贴出10张2元。

B、调整数据

师：现在10张2元币，一共有多少钱？

生：20元

师：10张这个问题条件通过假设是满足了，另一个条件29元怎么满足呢？这里的钱……

生：钱太少了！

师：钱少了怎么办？怎样才能让他变多呢？

生：用5元币换2元币，这样钱就会变多！

师：黄老师有个主意，直接在后面添上几张不就可以了吗？

生：不行，添了以后钱的张数就不是10张了！

师：添了以后钱的张数就会发生变化！我的方法是不行的，你们的方法“换”就一定可以吗？我们来试试看

 

师操作，用五元币替换二元币。

师：为什么换一次就增加了3元呢？

生：一张5元换一张2元多出3元，在原来20元的基础上加上3，现在就是23元。

师生合作完成三次替换。

师：现在看着图，能回答问题了吗？

生（齐答）：5元币有3张，2元币有7张。

评析：教者独具匠心地设计了换钱的操作示意图，使得学生借助图表的直观形象在教师的点拨下自主建构了“替换”的策略。这是本课的一大亮点。

C、整理思路

  师：这首题目的难点在于同时满足两个条件，我们用什么办法满足了第一个条件？

  生；假设

  师：我们又用什么办法满足了第二个条件？

  生：用替换的方法逐步调整就可以满足第二个条件。

  师：假设和调整联合起来使用就是我们今天要学的解题策略（揭题）。

D、操作体验

师：那除了假设十张全是2元币，还可以假设十张都是……

生：假设10张都是五元（屏幕显示） 。

5 5 5 5 5 5 5 5 5

师：这样一假设，什么满足了？29元怎么满足呢？你会替换了吗？注意：象刚才一样边换 边算 边说

      现在同桌合作用手里的学具钱操作一下替换的过程。

（学生分组操作）

师：你们替换了几次呀？我们一起来看屏幕。（电脑演示替换过程）

师：这样做出来的结果与刚才相同吗？

……

E、假设的泛化

师：刚才我们假设10张都是2元的或者假设10张都是5元的，通过调整都能解决问题，如果假设别的情况，比如说，假设8张2元，2张五元，通过调整能不能解决问题？

生：能解决问题！

师：对！不管怎样假设，通过调整都能解决问题，同学们课后不妨去试一试。

评析：黄老师在师生共同整理了解决思路后及时让学生合作操作，使学生进一步亲身体验了假设与替换的过程，强化了解题思路。

2、在类化中把握策略

A、变换数据，类化思路

师：看黑板，老师要增加难度了. 10张拿掉改成100张，29元不可能了，改成320元。

又是两个条件吧，怎样满足100张？

生：可以假设100张全是2元的。

师：100张2元币多少钱？100张满足了，那320元怎么办？

生：用替换调整数据。

……

（师黑板演示替换三次）

B、尝试探索，把握关键

师：哎！好不容易换到了209，可是离开320实在太远，到底要换多少次呢？你们还愿意老老实实地一张一张换下去吗？

生：可以用算式直接计算替换的次数。

……

（生独立尝试计算替换次数并汇报算式）

师：120算的是什么！

生：假设后的总钱数比目标少了120元（黑板标）

师：3算的又是什么？（黑板标）

生：用5元币换2元币每次替换多3元。

师：最后一步为什么要用120÷3呢?

……

小结：假设的总钱数与目标总钱数相差120元，用5元币替换2元币，每次替换只能弥补3元，3元、3元去弥补要多少次才能把少的120元全部弥补上，可以用除法计算。

师：看着图请同学们继续思考：两种钱各有多少张呢？

生：5元币有40张. 2元币有60张。

师：哦？这个40次就是40张5元的！为什么不是40张2元的？

生：一开始全是2元币. 没有5元币，换了一次就换进去一张5元币，换了40次自然就换进去40张5元币。

C、回顾反思，把握算法

师：思考过程有点长，我们对着图一起来梳理一下。

首先我们假设100张都是2元币，得到200元，比目标320元少了120元，接下来我们就用替换进行调整，每替换一次弥补3元，一共替换了120÷3=40次。每替换一次就换进去一张5元，所以换了40次就换进去40张5元，所以5元有40张，2元有60张。

师：你们能指着这幅图完整地说说吗？左边的同学说给右边的同学听，然后右边的同学说给左边同学听

（学生指图说思考过程）

评析：把数据改大，逼学生进行理性思考，引导学生把目光聚焦到“替换的次数”上，从而使学生很好地把握了策略的关键，突破了教学难点。

D、变换假设，类化方法:

师：如果这题假设100张全是5元，你还会解决这个问题吗？

 

师：先填图，整理一下自己的过程，然后再用算式完整表达你的思路.

（学生练习）

生汇报解题思路

三、策略的巩固：

A、题目结构的类化

师：同学们从上课到现在我们解决的题目都是关于钱的问题，那么这样的策略是否只能解决有关钱的问题呢？一起看图          

                          320元

 

     5元    5元   5元  …………2元   2元   2元

                       

100张

师：这就是刚才我们解决过的题目，只是形式不同而已。（屏幕改图：船、展板、乒乓桌）

 

                      320人

     5人   5人  5人   …………2人  2人  2人

 

                       100只

……  ……

师：这些题目的题材变了，数据也变了，但是题目的结构和本质没有变化，所以解决这些题目的策略也是相同的。

评析：教者结合示意图通过问题素材的不断改变，使学生认识到尽管题材变了，但问题的本质没有变，这些问题都可以用假设和调整（替换）的策略来解决。这样的设计既让学生进一步明确了此类题目的结构，又大大提升了策略的价值。

B、解决问题

学生独立解答：六轮卡车、四轮卡车一共100辆，一共450个轮子，两种卡车各多少辆？要求：把思考图想在脑子里，直接列式解答。

四、全课小结

师：今天我们一起探索和学习了用假设和替换的策略来解决问题，这些问题有什么共同特点？

生：今天的题目都要同时满足两个条件。

师：回忆一下我们是怎样解决这些问题的？

生1：我们先用假设满足一个简单的条件。

生2：再用替换在继续满足第一个条件的基础上，满足另一个条件。

师：那么在替换的过程中最关键的是要算出什么？

生1：最关键要算出替换次数。

生2：算出替换次数后，怎样下结论也非常重要。

师：今天我们是用替换的方法对数据进行调整的，其实调整的方法有很多，不仅仅是替换这一种，希望你们在今后的学习过程中多思考，多探索。

五、应用与拓展

师：今天同学们自己发明了用假设和替换来解决问题的策略，其实我们的祖先也研究过这样的问题。我们一起来看。（屏幕出示鸡兔同笼题）你们能用今天学过的策略来解答呣?

……..

  师: 无论是同学们还是我们的祖先，中国人从来不缺乏智慧。

总评：本课内容实际就是传统的奥数内容——鸡兔同笼问题，这类问题通常用“假设和调整”的策略来解答。由于在解答过程中同时要用到假设和调整（替换）两种策略，且步骤较多，思考难度较大，学生不易理解和掌握，即使学生弄懂了例题，要迁移解决其它同类问题也不简单。解决这类问题的基本策略——假设和调整是一种非常重要的数学思想方法，对促进学生数学思考、数学智慧的发展有着巨大的作用。策略的巨大价值和学生学习时的难度之间确实存在的巨大的矛盾。面对这样的矛盾，教者独具匠心，创造性地设计了操作示意图，精心构建了由直观逐步抽象的有效教学序列。引导学生在观察、交流中感知策略，在操作中体验策略，在反思中明晰策略，在类化中把握策略，在应用中提升策略，取得了良好的教学效果。具体来说本课有如下三个鲜明特点：

1、精选素材，操作示意，缩小经验与问题间的距离，为学生建构策略构建有效的脚手架。本节课黄老师选用了换钱的鲜活素材，非常贴近学生的生活实际, 激发了学生的学习兴趣。教师边操作，边建构替换示意图，替换示意图使替换的策略得以显性体现. 借助直观示意图，学生的思维有了清晰的线索，策略的建构也就成为有源之水。

2、巧妙设疑，逐步深入，逼学生出智慧，诱学生自然生成。本节课，黄老师通过创设问题情景，设置矛盾冲突，不断激发学生探索解决问题的策略和欲望，引导学生通过观察、操作、思考、交流，逐步建构了假设与替换的策略，具体来说黄老师分五个环节进行了层层递进的建构活动。⑴由“要同时满足两个条件怎么办”引导学生想到逐步满足的解题方向。⑵由“拿10张的情况太多，选哪一种呢”引导学生建构“假设”。⑶由“10张这个条件通过假设满足了，另一个条件29元怎么满足呢？”引导学生建构“替换”的策略。⑷由“把10张换成100张，29元换成320元，怎么办”引导学生探索替换次数的计算方法。⑸由“假设和替换的策略是否只能解决有关钱的问题？”引导学生对问题结构及解题思路进行类化，感受策略的作用及价值。五个环节环环扣紧，层层深入，学生的思维有序展开，解题策略自然生成。

3、及时类化，把握关键，固化解题思路，扎实教学效果。本节课，黄老师共进行了三次类化，起到了步步为营、扎扎实实的效果。从假设2元到假设5元是第一次类化，这次类化使学生在操作中进一步感知和体验了假设与替换的思路。数据变换（由小变大）是第二次类化，这次类化一方面使学生进一步熟悉解题思路,同时逼学生理性计算替换的次数，解决策略的关键。最后由点到面的类化使学生进一步明确了此类问题的结构及解题策略，提升了解题策略的价值。三次类化使学生牢固把握了这类问题的解题思路, 提高了学习效率.取得了良好的教学效果.