圆的核心思想

一、圆的核心思想解读

1.广泛的对称性

数学中常见的对称有轴对称和旋转对称。如果可以找到一条直线，使得一个图形沿该直线对折后两部分重合，那么则称该图形是轴对称图形，该直线叫做图形的对称轴。如果可以找到一个点，使得一个图形绕该点旋转一定的角度后与原图形重合，那么则称该图形是旋转对称图形，这个点叫做图形的旋转中心。中心对称是旋转对称的特例，也就是说，如果一个图形绕旋转中心旋转180°后与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形。

如果一个图形经过某个变换后与原图形能够重合，我们就说这个图形是对称图形。

在平面内所有图形中，圆是最具有对称性的图形。

第一，圆是轴对称图形，并且对称轴有无数条。正n边形是轴对称图形，但它的对称轴是有限的，不会是无穷多条。我们在小学阶段研究“圆的面积”时，往往是用正多边形近似替代圆，此时，圆可以看成是一个正无穷多边形。特别地，当我们用正六边形近似替代圆时，圆周率就是3，这就是我国古代所谓的“径一周三”的道理。

第二，圆是旋转对称图形，具有任意的旋转不变性。也就是说，它绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合。圆不仅仅是中心对称。

我们说圆具有“广泛的对称性”，是因为在平面图形中它的对称性是绝无仅有的。正三角形也具有旋转不变性，但它只能分别旋转120°、240°、360°后与原图形重合；平行四边形也具有旋转对称性，但它是中心对称图形，是特殊的旋转对称图形。

2.各向均匀性

各向均匀性，是说一条曲线在每一点处的弯曲程度都一样，各个点的地位处处平等，没有“上下”、“贵贱”之分。圆具有各向均匀性，每一点处的弯曲程度都一样，圆上的点是“平等”的。在三角形中，三角形上的点有顶点，有边上的点之分，各点不平等。在平面图形中，除了圆以外，还有直线的弯曲程度也是处处一样，但直线的弯曲度是零。三角形虽然主要由直线段构成，但在顶点处的弯曲度发生了改变。

圆在每点的弯曲度相等，这个性质是基于圆的半径处处相等。

正是由于圆的各向均匀性，车轮、各种瓶盖等物体才做成圆形的。

圆的各向均匀性也使得用周长一定的材料，圆形是所有正多边形中面积最大的图形。

3．圆的普遍存在性

在实现世界中，数学中的圆永远都不真实存在，我们只能找到圆的近似图形。圆在现实世界中，有两种存在状态，一是自然状态，一是人工状态。

在自然状态中，圆的普遍存在，来自于物理学的质点运动的理论。在物理学中，质点是没有体积，没有大小，只有质量的。

在物理学中，有一条基本规律：两个质点形成的独立体系将围绕它们的公共质心做圆周运动。比如，当我们研究太阳和地球两个质点构成的体系时，如果不考虑其他的行星和卫星，他们之间围绕其质心做圆周运动，又由于太阳的质量远远大于地球的质量，从而导致太阳与地球两个质点的体系的公共质心几乎就在太阳这个质点上，所以从实际效果上看，好像是地球围绕太阳做圆周运动。但实际上，由于太阳系还有其他行星，地球还有卫星（月球），这些因素将导致地球围绕太阳的运动是呈现一种接近于椭圆的运动轨迹。

在人工状态中，圆的普遍存在，是基于圆的数学性质，也就是圆的对称性和圆的各向均匀性。圆的这些重要性质不仅给人们美学意义的直观感受，而且还可以使得面积最大化。

4．曲线的研究方法

圆是学生在数学中第一次认识的曲线图形。无穷的东西，曲线的图形，人们是无法感知的，一旦到无穷，一旦到 “曲”，人的感知能力就无能为力了。对于“曲线”和“无穷”，人们是用直线逼近曲线，用有限逼近无限，用有限线段来逼近直线。不管是低维的数学空间还是高维的数学空间，这种“化曲为直”，“化无穷为有限”的方法贯穿于整个数学。在圆的学习中，化曲为直的思想是重要数学思想。

泽布罗夫斯基在《圆的历史》中说，圆可以看作是正n边形，是无穷多边形或无穷正多边形。你想画多圆的圆，就可以用多少边的正n边形来代替。这就是“化曲为直”，“化无穷为有限”思想的体现。

在大家经常使用的数学软件《几何画板》中，可以非常容易地体验到，当n比较大时，这样的正n多边形看起来就是“圆”。笔者试验过，在半径为5厘米的圆内做的正45边形，这个正多边形与圆毫无二致。

二、小学、初中、高中三个学段中圆的共性

从人类的发展历史看，人们认识圆是不容易的，对圆的认识也是不断发展的。

在小学阶段，认识圆有两个阶段：

第一阶段，不给出形式化的定义，只有直观特征的圆。在低年级中圆柱、球等，都是“圆”的；砖块，铅笔盒都是“方”的；在这里“圆”的、“方”的图形的认识和区分是借助于实物来形成的。从与“方”的图形比较中，人们认识圆形的东西，感受到它是光滑的曲线。

第二阶段，给出圆的数学特征：半径，圆心，周长，并获得简单的度量（周长和面积）。

所以，在小学阶段，让学生通过摸一摸、折一折、描一描、量一量，建立对圆的直观认识，获得对圆的度量的认识。

在整个小学阶段，强调的是获得对圆的直观经验，而不追求形式化的定义。

在初中阶段，对圆的认识经历了从整体的几何到局部的几何过程，是在圆的整体核心数学思想之上的再认识。

如垂径定理，它体现圆的轴对称性。圆心角定理，它体现圆的旋转对称性。这些定理以及它们的推论都是圆的对称性的数学语言的形式化刻划。小学阶段是折一折，初中阶段具体局部化，给出了一条具体的直径，借助这一条直径去研究圆的轴对称性。因为学生在小学阶段对圆的对称性已有了较多的感知、感悟，因此“垂经定理”、“圆心角定理”等是在小学整体认识之上的再认识，所研究内容还是圆的对称性。

当然，这种选择是完全依赖于这一个时代的人对学生的一种期望。对于不同教材中圆的内容加一点，减一点都没有关系，我们应当抓住最核心的东西——对称性。

高中阶段，研究方法与小学、初中都不相同。几何学发展两千多年的历史，都是用图形的方法研究几何。发展到笛卡尔时代，笛卡尔发明了另一种方法，将代数方法放在几何中去研究几何，这就是解析几何。在高中阶段，几何研究与学习，从几何的方法（综合法）发展到用代数方程、函数的方法，扩大了研究圆的视角。但在这个过程中我们发现，圆的对称性仍然是大家关注的重点。

这样看，三个学段的发展脉络是：

小学：直观的、整体的；初中：局部的、综合的；高中：方程、函数的方法

在这三个阶段中，其共性是圆的对称性，它是构成圆之所以重要的基础。这些内容一直到现代几何里面一直都是非常重要的内容。其次，是研究圆的方法，化曲为直的思想，这种思想也是非常重要的，因为“圆”的东西研究透了，研究曲线形和其它图形就容易了。

三、对小学几何教学的建议——不要过早地形式化

小学阶段不要过早的形式化，现在好多人都提到了感受和体验。我觉得在初等教育里面最重要的是一个方法问题，不同的阶段对形式化有不同的要求。等到了大学、高中再回头看小学的教学，就会发现它其是就是一个感知的过程。你会发现，先前都是在奠定一个感知的基础。

几何学的基本任务就是培养学生几何直观能力和几何直觉能力的问题。在大学要学“群”的概念，把整个初等几何中的“变换”都可以看成是一个直观。不同的阶段应该有不同的直观，小学不该过早的形式化。老师都希望自己的讲课滴水不漏，都希望自己的学生都有很强的逻辑能力，能条理清晰的表述一个问题，这是可以理解的。但有的老师问：“你能不能证明：圆的直径等于半径的2倍？” 这就有问题，这个“证明”一词就很别扭，这是形式化的问题，在给学生形式化的压力，小学生还不能证明，达不到形式化的程度。你可以换一下问法：你是怎么理解的？你能不能折一折，多画几个圆试一试。

周长的基本含义比公式更重要。我们在学积分计算曲线的长度的时候，还是用周长的定义分段加。4a只对正方形有用，对一般的周长问题还是要用周长的本质，一边一边地加一加。在小学阶段要让学生经历折一折，叠一叠，画一画的动手操作过程，多增加、积累直观的经验。在这个过程中，既完成了操作，又完成了对概念的理解。在小学，老师要经常思考，你为学生“装”下多少个具体的长方形，具体的圆，积累了多少的直观，让学生一想到对称，就想到有个具体、直观的圆。

因此，总结一下来看，小学几何教学的建议就是：第一，要时刻把握几何直观的培养，要有图形意识，多让学生经历“实物—图形”和“图形—实物”的过程；第二，要把握几何学习的阶段发展，明确小学阶段的学习任务，主要是直观上、整体上认识图形和空间，多装一些具体的东西在学生头脑中；第三，教学过程和教学设计，包括活动的组织、提问和追问，情境的设置等，要紧密围绕“图形的核心数学思想”，抓住教学内容的本质，而不是过早的形式化。