多元表征算理，提升计算能力

——《小数乘整数》教学案例

江阴市华士实验小学   桑莲平

摘要：在“小数乘整数”教学时,要采用恰当的教学方式，沟通新旧知识点的联系，实现新旧知识的迁移和转化，同时利用实物原型、直观模型、已有知识经验等多种方式表征算理，促进学生对算理的理解，以理驭法，才能让学生理清计算思路，有效地提高学生的计算能力。.

关键词：小学数学 　　 小数乘整数 　　 算理理解

数学课程标准指出：“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。” 因此，小学数学计算教学中不能仅仅关注计算结果，更应关注过程，应该让学生建立在理解算理的基础上掌握计算方法，形成计算技能。算理是隐性的，如何才让学生更好地理解算理？在实际教学中，可以利用实物原型、直观模型、已有知识经验等多种方式表征算理，直观地帮助学生思考，促进学生对算理的理解。

一、课前思考

（一）教材分析

“小数乘整数”是苏教版五年级上册第55-56页的内容。这部分内容是在学生掌握了整数乘法的意义和计算方法、积的变化规律、小数的意义和性质、小数加减等知识的基础上进行学习的。它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展，同时，小数乘整数既是小数乘除法中重要的组成部分，也为后面进一步学习小数乘小数、小数除法等知识作准备，还是小数四则混合运算和分数小数四则混合运算学习的基础。在本册教学中起到了承前启后的重要作用。在本课中，要让学生理解并掌握小数乘整数的算理和计算方法，能够利用算理正确的进行计算。苏教版、北师版和人教版教材相关内容分别如下。

苏教版                                     北师版

人教版

1．相同点：

（1）都从学生熟悉的购物情境引入，充分体现数学源于生活的新课程理念。

（2）都力求沟通新旧知识点的联系，实现新旧知识的迁移和转化，都呈现连加、单位转化两种方法感知小数乘整数的算理，渗透转化思想。

（3）在探究的过程中，都让学生体验到算法多样化的思想。

2.不同点：

（1）北师版是将小数乘整数的口算单独作为一课时，没有涉及到列竖式计算小数乘整数，教材结合购买文具的具体情境，例题中的算式都提供了长方形图作为直观模型，帮助学生理解算理，练一练是安排学生在直观图上先涂一涂再算一算。

（2）笔算教学，人教版教材例1是结合具体量教学小数乘整数，学生根据元、角之间的进率，将3.5×3转化为整数来计算，例2是脱离具体量教学小数乘整数，以“小数点移动引起小数大小变化的规律、积的变化规律”为着力点，帮助学生弄清小数乘整数的算理和计算方法。

（3）笔算教学，苏教版教材没有提供直观图，而是让学生通过观察、推理、交流、归纳等数学活动，发现和理解小数乘整数其实就是计算有多少个这样的计数单位，来进一步理解算理，掌握小数乘整数的计算方法。

尽管不同版本的具体编排有所不同，但各个教材都关注算理与算法的关系，关注学生运算能力的培养，在教学中需要恰当地借助多元表征帮助学生理解算理。

（二）课前调查

1.前测题目及设计意图

（1）比一比，看谁算得又快又对。

3×20=              400×3=             24×3=

25×4=               32×2=             35×2=

600×2=              0.7+2.5=         0.6+0.6+0.6=

【设计意图：了解学生整数口算、小数加法口算的掌握情况。】

（2）用竖式计算，看谁书写工整，计算正确。

276×4=         35×46=

【设计意图：了解学生整数笔算的掌握情况，学生对于这部分知识的掌握，包括书写格式、计算方法等。】

（3）想一想：0.2×4=

你能用以前我们所学过的知识算一算吗？

你能想到几种不同的方法？请把你的思考过程记录下来。

【设计意图：了解有多少学生已经能够正确的进行竖式计算，看看学生在遇到新问题时会采用什么方法解决，同时发现学生学习中的难点。】

2.前测情况及分析

被测学生五年级1班和2班共86人。

（1）第一二题统计与分析。

	调查人数	错题人数	错题率
第一题	86人	9人	10.5%
第二题	86人	8人	9.3%

大部分学生能够比较熟练地计算整数乘法口算、小数加法口算以及整数乘法的笔算。计算错误原因有进位错误、乘法口诀背错、抄错数字、横式上结果写错，这部分同学的计算能力有待加强。

（3）第三题分析。

每位学生都至少写了一种方法，采用的方法主要用转化成加法、画图、列竖式、积的变化规律等。

以下部分学生作品：

分析：在用竖式计算的方法中，23名学生的格式是正确的，8名学生的格式是错误的，说明小数乘法是末尾对齐还是数位对齐是学生存在的困惑之一。学生知道要计算0.2×4可以先算2×4，但为什么结果却是0.8，有部分学生是凭借“直觉”认为结果是0.8，但不能很好地解释其中的算理。所以本节课教学时重点是结合计数单位表征图让学生明确小数计算的算理，进而掌握算法。

二、课中实践

课前热身：笔算148×23。

（一）以旧引新

1.口答列式。

（1）一根绸带长800毫米，3根这样的绸带一共多长？

（2）一根绸带长80厘米，3根这样的绸带一共多长？

（3）一根绸带长8分米，3根这样的绸带一共多长？

学生直接口答列式，说说是怎么口算出结果的。

2.揭题。

（4）一根绸带长0.8米，3根这样的绸带一共多长？

你能说说这样列式的理由吗？

这道乘法题与我们之前学习的乘法算式有什么不同？

今天我们就一起来研究小数乘整数。

猜猜看0.8×3结果是多少？

【设计意图：通过一组情境应用题的解答唤醒学生的原有认知经验，激活学生的思维，彩带长度的改变自然过渡到新课的学习。这一环节的设计，既让学生明白了小数乘法和整数乘法的意义是相同的，又巩固了学生已学的整数乘法的口算方法。有效调动了学生学习的主动性，使学生更快地进入探求新知的状态之中。】

（二）探究新知

1.理解算理

（1）你有什么办法能验证这个结果是正确的？

结合学过的知识独立思考，把你的方法记录下来，在小组内交流。

展示各种不同的方法，组织全班交流。

方法一：用加法计算。

把0.8×3转换成3个0.8相加，0.8+0.8+0.8=2.4（米）。

方法二：利用米、分米的换算。

0.8米=8分米，8x3=24(分米),24分米=2.4米。

根据乘法的意义，把0.8×3还原成小数加法计算以及借助单位转换，将不会计算的 0.8×３ 转化成会计算的 8×3这样的整数乘法，都是把把新知转化成旧知，这是一种很好的解题策略。还有不同的想法吗?

方法三：根据小数的意义计算。

0.8就是8个0.1，8个0.1乘3后就有24个0.1，也就是2.4。

他的想法，你听懂了吗？

让我们借助计数单位表征图来梳理一下这位同学的想法。

方法四：用积的变化规律计算。

0.8x10=8, 8x3=24,24÷10=2.4。

0.8到8发生了怎样的变化？另一个乘数变化了没有？积发生了怎样的变化？要想得到原来的积，该怎样办？

方法五：用竖式计算。

8其实表示什么？乘3得到的是24个——0.1。

2.这些不同的思考方法之间有什么相同之处呢?

引导学生寻找、分析、感受每一种方法中的8x3=24。

追问：8x3=24，结果却是2.4，为什么？

比较800x3，80x3，8x3，0.8x3这几道算式计算时有什么相同点和不同点？

【设计意图：新课标指出学生是学习的主体，教师是学习的组织者与引导者。在探究0.8×3这一环节中，放手让学生尝试，鼓励学生利用已有的知识和经验自主探索算法，算法的多样化全部被呈现出来。在此基础上引导学生展开充分交流，在对比中找到各种算法之间的联系，借助数形结合，适时追问，帮助学生较好的理解小数乘整数的算理。及时沟通小数乘法与整数乘法之间的联系，有利于学生更加透彻地理解算理。】

（3）专项练习。

选择合适的方法计算下面各题。你是怎么快速得出结果的？

0.08×3=    1.2×3=   0.312×2=   0.15×4=

说说你是怎么想的。

【设计意图：在学生基本领悟小数与整数相乘的算理之后，设计专项练习，学生在计算时发现把小数转化为整数的方法是最简便的，从而达到算法的优化。】

2.教学笔算

（1）每根绸带2.35元，买3根这样的绸带，5元够吗？10元够吗？需要多少元？

学生尝试计算2.35×3。

展示交流，说说是怎么算的。

结合学生错例提醒竖式计算的要点：乘数的末位对齐；到哪一位,积就写到哪一位的上边；乘积满十进一。

引导：计算0.8×3时，我们把它当作8×3来计算；计算2.35×3时，我们可以把它当作哪两个整数相乘来计算？

【设计意图：新课标指出：“加强口算、重视估算，提倡算法多样化”。在计算之前引导学生先进行估算，一方面，培养学生的估算的意识能力，另一方面，可以得到算式结果的一个范围，对计算得出的结果可以有一个简单的检验。】

（2）即时练习。

1.3×12=

学生完成后组织反馈。

交流：为什么这样点小数点？计算过程中要不要点小数点？

借助直观图理解1.3×12的算理。

明确：1.3就是13个0.1, 13x12=156，156个0.1就是15.6。

（3）根据上面的计算过程，你觉得小数乘整数应该怎样计算？积的小数位数是怎样确定的？

这个想法对不对，我们来看一下。

0.15×4为什么积是一位小数？

明确：小数和整数相乘，先按整数乘法的方法计算，然后再看乘数中有几位小数，再从积的右边起数出几位，点上小数点。乘积末尾有零的要化简。（乘、点、化）

【设计意图：利用课堂生成的资源，引导学生进行辨析，在交流中找到错误原因，促进对小数乘整数算法的理解和掌握。通过比较0.8×3=2.4、2.35×3=7.05、1.3×12=15.6的计算过程和结果，进一步感知小数乘整数的计算方法，从而为算法的抽象奠定良好的基础。学会通过独立思考、观察交流、归纳总结，经历了知识的形成过程，在理解算理的基础上掌握小数乘整数的计算方法。】

（4）专项练习。

点小数点是小数乘整数的关键，我们继续来关注小数点的相关问题。

出示：14.8×23=

如果要快速得到答案，你想知道那个算式的结果？

那148×2.3的结果呢？

追问：为什么两道题结果相等？

0.148×23的结果是多少？为什么？

（  ）×（  ）=34.04，你会填吗?

（5）回顾小结

学到这里，你有哪些收获?

【设计意图：这道题根据乘数与积的变化规律填空，运用知识迁移让学生感受整数乘法与小数乘法是一脉相连的，会正确处理积的小数点。】

（三）巩固练习

1. 直接写出得数。

4×6=        32×3=           12.1×4=        2×0.07=

0.4×6=      3.2×3=          1.21×4=        6×1.5=

我们先来练习几道口算。

生独立完成后校对，注意结果要化简。

如果完成一道题就可以得0.5分，算一算，你可以得多少分？（学生交流）

2. 根据第一列的积，写出其它各列的积。

乘数	24	2.4	0.24	24	24
乘数	32	32	32	3.2	0.032
积	768

3.竖式计算。

0.68×9=   54×0.41=  3.24×65=  0.217×18=

生独立完成后交流。

3.24×65为什么积是一位小数？

说说小数乘整数的计算要注意什么？

先按整数乘法计算，然后点上小数点，最后要化简。

4.解决问题。

一辆汽车油箱里有25升汽油，每升汽油可以供这辆汽车行驶8.8千米。要行驶200千米，中途需要加油吗？

生完成后交流不同方法。

方法一：先算25×8.8=220千米，220千米＞200千米，所以不用加油。

方法二：200÷25=8千米，8.8千米＞8千米，所以不用加油。

拓展：在下面方框里填上合适的数字。

【设计意图：围绕重难点设计有层次性的练习，形式多样，有口算、竖式计算等基本练习，有解决积的定位问题的专项练习，有结合生活实际的解决问题， 还有变式练习等，通过练习提高学生对小数乘整数的计算方法的理解与计算的准确性,提升学生的思维。】

（四）总结延伸

我们以前学习了8×3、80×3、800×3这样的整数乘整数，今天又学了0.8×3、0.08×3这样的小数乘整数，以后我们还会学习什么呢？小数乘小数又该如何计算呢？

【设计意图：让学生在谈收获的过程中对本节课的知识进行自主梳理。回顾学习过程，从整数乘整数，到小数乘整数，再到小数乘小数，沟通了新旧知识的内在联系，帮助学生形成整体认知结构。】

三、课后反思：

本节课的教学主要围绕小数乘整数算理理解、算法掌握两个方面，教学中注重发挥学生的主体性，把思考的空间和时间留给学生，放手让学生自主去尝试、探究、归纳、总结，教师适时引导，为生提供数学交流机会，促进了学生的数学思维活动，提高数学思维能力。

数学课程标准指出，学生学习数学的过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。在组织学生探索小数乘整数的算理时，放手让学生利用已有的知识经验自主研究0.8×3的结果，然后展示学生的不同的思考方法，组织学生进行交流。学生有的根据乘法的意义想到用0.8+0.8+0.8进行计算，有的把0.8米转化成8分米进行计算，有的根据小数的意义转化成整数乘法计算，还有的学生用竖式计算等，在此基础上，引导学生对比，进一步沟通各种方法之间的联系，把计算的思维过程与直观图一一对应，借助直观图来帮助学生理解0.8×3的算理，形成了算法。

教学笔算时，让学生先自主尝试，然后抓住课堂上生成的资源，把典型的错误呈现出来，引导学生进行辨析，分析错误的原因，让学生在找错、改错中反思问题所在，剖析错误根源，从而帮助学生掌握小数乘整数的算法。接着引导学生“聚焦”于积中的小数点如何处理，让学生明白积中小数点的位置是与乘数的小数位数有关的。进而引导学生归纳总结，得出小数乘整数的计算方法。

小数乘整数的计算教学是学生计算思维能力的一个转折，在实际教学中，要让学生参与到算理和算法探索的过程中，从多元表征的角度促进学生对算理的理解，让学生理清计算思路，有效地提高学生的计算能力。