从“经验”走向“理解”

                        ——“因数和倍数”案例分析

江苏江阴市利港实验小学    赵 静

【摘要】在数学教学中，根据学生已有经验，借助数学模型，帮助学生真正实现概念的理解：数学结合完成“因数和倍数”意义的建构，有序思考形成找“因数和倍数”的技能与方法，借助素材引导学生在比较观察中寻找特征，解决问题体会“因数和倍数”的实际应用。

【关键词】    数形结合   有序思考    观察比较

 

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，通过有效的措施，启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，得到必要的数学思维训练。在教学中，我们不仅要让学生在已有经验上有量的提升，更应当让学生有从“经验”走向“理解”的这样一个质的飞跃。郑毓信曾指出：数学的发展主要地表现为以已有的知识为基础去建构新的理论。从“学生的现实”去寻找教学的素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地提示相关数学知识之间的内在关联。结合苏教版数学五年级下册《因数和倍数》的教学，谈谈如何引导学生从“经验”走向“理解”，让学生根据已有经验，借助数学模型，真正实现概念的理解。

 

一、 数形结合，在经验中完成“因数和倍数”意义的建构

片段1：因数和倍数的认识

师：同学们，用12个同样大的正方形拼成一个长方形，想想看可以有哪些不同的拼法？谁来说说看，每排几个，摆几排？乘法算式是什么？

生1：每排6个，摆2排。乘法算式6×2=12

生2：每排4个，摆3排。乘法算式4×3=12

生3：每排12个，摆1排。乘法算式12×1=12

生4：每排3个，摆4排。乘法算式3×4=12

根据学生的回答，师出示各种摆法：

①                      ②

 

③         ④

 

师：同学们对比一下第四位同学和第二位同学的摆法，有什么想法？

生：只要倒下来就是一样的。

师：只是摆放的位置不同，一个横着摆，一个竖着摆，其实是同一种拼法，只能算一种。

师：那每排5个可以吗？为什么呢？

生：不能。1排5个，两排10个，还多了2个。

师：是不是这样呢？

根据学生的回答，师出示摆法：

 

 

师：看来，只有这三种不同的拼法。根据3种拼法，我们找到了这3个乘法算式。可别小看这3个算式，里面呀藏着我们今天要来学习的因数和倍数的知识呢！（板书：因数和倍数）

师：一起来看3×4=12这个算式，猜一猜谁是谁的倍数？

生：12是3的倍数，12也是4的倍数。

师：对呀，12是3的倍数，反过来我们就说3是12的因数。（板书：12是3的倍数，3是12的因数）

谁来完整地说一说：4和12有什么关系？

生：12是4的倍数，4是12的因数。（板书：12是4的倍数，4是12的因数）

师：你能把这4句话完整的说一说吗？

生：12是3的倍数，3是12的因数；12是4的倍数，4是12的因数。

师：看，这儿还有两个乘法算式，你会说吗？同桌两人互相说一说。

师：12是12的倍数，感觉有点特别，不过，确实，12是12的因数，12也是12的倍数。

师：根据乘法算式同学们知道了谁是谁的因数，谁是谁的倍数，那你们能自己写一个乘法算式说一说吗？写在练习纸的反面。

师：我也来写一个3×0=0。谁来说一说。

生不举手。

师：咦，怎么不说啦？结合刚才拼长方形的过程想想看？谁来说说看？

生：每排3个，没有正方形，不能拼。

师：所以我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。（一般不考虑0。）

评析：

华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。因数和倍数这是两个非常抽象的数学概念，学生又是初次接触，根据学生已有经验以解决问题“12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？”为引子，借助乘法算式引出因数和倍数的意义，学生展开空间思维，方法多样。这样导入激活学生的形象思维，透过数学“形”与“数”的潜在关系，化解了抽象概念的难度，有效地实现了原有知识与新知识的链接。在解决这个问题的过程中，学生直观感知、自主体验数与形的结合，初步完成了“因数与倍数”意义的建构，同时为学习因数和倍数的依存关系进行有效铺垫。学生在认识了因数和倍数关系的基础上，通过“3×0=0”这个算式，引导学生再次结合拼图的过程，在具体情境中理解研究“因数和倍数时一般不考虑0”，难度减缓，效果较好。

二、 有序思考，形成找“因数和倍数”的技能与方法

片段2：有序找因数

师：36的因数是不是只有一个4呢？

生：不是。还有其它的。

师：那你能把36所有的因数一个不落的全部都找出来吗？

生尝试找36的因数。

生1：我找到了4个。

生2：我找到了6个。

师：还有找到更多的吗？

生3：我找到了9个。

师：哇，太厉害了。说一说你是怎样找到这么多的？

生：我是想（ ）×（ ）=36的，1×36=36,1和36是36的因数；2×18=36,2和18是36的因数；3×12=36,3和12是36的因数；4×9=36,4和9是36的因数；6×6=36,6是36的因数。

师：这种想乘法算式的方法简直太妙了。你们觉得妙在何处？

生1：他是按顺序想下去的，不会遗漏。（板书：有序）

生2：一个乘法算式可以找到两个因数。（板书：一对一对找）

师：从几开始有序的往下想？又想到什么时候为止呢？

生：从1开始有序的往下想乘法算式，想到重复为止。

师：还有同学也找到了9个，但方法不一样的吗？

生：我是想36÷（  ）=（  ），36÷1=36，1和36是36的因数；36÷2=18，2和18是36的因数；36÷3=12，3和12是36的因数；36÷4=9，4和9是36的因数；36÷6=6，6是36的因数。

师：这种方法也非常不错。

师：同学们看，这两种方法有什么不同的地方？

生：一种是想乘法算式，另一种是想除法算式。

师：这两种方法在找的时候有什么共同的地方？

生1：不管是乘法还是除法我们都能找到36所有的因数。

生2：都是从1开始有序的往下想。（有序）

生3：都想到重复为止不再往下想了。（不重复）

生4：都是一个算式找到两个因数。（一对因数）

评析：

我们发现《因数和倍数》的课堂，一开始找因数有些学生喜欢根据乘法算式来找，有些学生喜欢根据除法算式来找，所以一开始索性就放手让每个学生找36的因数，围绕提出的“怎样才能一个不落地找到36的所有的因数”这个问题，去找寻36全部的因数。由于学生的个体差异，出现了各种不同的答案，这些不同的答案也正为寻求更有效的办法提供了资源，学生通过比较、归纳、总结，获得找一个数的因数的两种方法，通过比较两种方法的不同点体会到找一个数因数可以用“（）×（）=36”也可以用“36÷（）=（）”的方法来思考，再通过找两种方法的相同点进一步体会“一对一对”和“有序”找一个数的因数的优势，避免遗漏或重复，突出了有序思考的重要性，有效地突破了教学的难点。数学的性质决定了数学教学既要以学生思考的有序性为基础，又要培养学生思想方法的有序性。只要做到有序思考，我觉得这两种方法可以并进，学生可以根据自己的喜好选择解决问题的方法。下面就安排了这样一个环节，用喜欢的方法找一找18的因数，进一步巩固了找因数的方法。

三、 借助素材，引导学生在比较观察中寻找特征

片段3：因数和倍数的特征

师：用喜欢的方法找一找18的因数。

师：同桌互相说一说24和16的因数。

师：现在一个数的因数都会找了，那a的因数你会找吗？

学生疑惑，出现困难。

师：有点难，但是它的因数中一定会出现几呢？

生：a的因数中一定会出现1和a。

师：为什么？

生1：一个数最小的因数都是1。

（课件竖着圈出所有数中的因数1）

生2：一个数最大的因数是它自己。

（课件竖着圈出所有因数中的本身）

生3：最大的因数是自己，所以因数的个数是有限的。

评析：

《数学课程标准》中指出：要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习和理解数学。如果只是通过比较几个数的因数的共同特点，对于学生来说思考的力度不够大，没有挑战性而且抽象。于是在这里就安排了找一个字母a的因数，学生起初是一愣，接着“但它的因数中一定会出现什么”这个问题一出，学生的眼球一亮，大脑快速运转进行知识的梳理和整合，有的学生就像发现了新大陆一样找到了1和a这两个因数，获得了极大的成功感和满足感。在通过找字母a的因数时，学生其实已经初步感受到了一个数因数的特征：最大因数是本身、最小因数是1、个数是有限的，由此避免了学生找特征时无序的现象。可见，在数学教学中，借助好的素材，可以有效地激发学生学习的兴趣，可以增强学生的思维宽度，可以有利于学生将已有知识进行整合，可以有利于学生知识的动态生成，更有利于学生对抽象的概念的理解。

四、 解决问题，体会“因数和倍数”的实际应用

片段4：方砖铺地

师：边长6分米的正方形地，需要整分米的正方形地砖铺设，不能裁剪，可以有哪些

尺寸的地砖？

     生1：2分米的和3分米的方砖。

     生2：1分米的方砖。

     生3：6分米的方砖。

     师：根据你们的回答，你们有没有什么发现？

     生：这些尺寸都是6的因数。

     根据学生的回答，依次出图：

 

 

 

片段5：游戏——找朋友

师：下面我们来玩一个游戏，想玩吗？

师：同学们每人都有一个学号，每个学号都是一个自然数，如果我要找的朋

友是你，请你起立，并把你的学号卡片举过头顶，让其他同学确认一下你是不是我要找的朋友。准备好了吗？

师：是16的倍数的同学起立，是16的因数的同学起立。

师：学号是16的同学，你怎么起立了两次？

生：16最小的倍数是它本身，16最大的因数也是它本身。

师：是4的倍数的同学起立。

师：谁来说一句话，让大家都是我的朋友。

生：是1的倍数的同学起立。

师：大家都起立了。说明了什么？

生：1是所有自然数的因数，所有的自然数都是1的倍数。

评析：

数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物中提供观察和操作机会，使他们感受到数学就在身边，从而对数学产生亲切感。这个环节先找符合条件尺寸的地砖，再设计了“找朋友”的游戏。陈鹤琴说过：游戏是儿童的心理特征，游戏是儿童的工作，游戏是儿童的生命。这样一个游戏，使整个班的学生立马活跃起来，先找因数朋友，再找倍数朋友，接着发现一个数的因数和一个数的倍数有共同的朋友。通过游戏由浅入深地让学生再次体验因数和倍数的特点，感受到因数朋友的个数是有限的，倍数朋友的个数相对多，体验到一个数的倍数的个数是无限的。最后让学生用一句话，让大家都是我的朋友，是思维的一个升华过程，能有效地让学生自主思考，起到激活思维的效果。在课堂上，我们发现学生喜欢某种活动时，便会全身心投入，这样就会有较高的学习动力，也会获得最高的学习效率和最好的学习效果，学生对概念的理解也会更加深刻和深入。因此，在课堂教学中，我们要为学生创设快乐的学习环境，激发兴趣，以兴趣促进学生乐学数学，达到学习主动化，提高课堂教学效果。

 

【参考文献】

〔1〕中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）〔M〕.北京：北京师

范大学出版社，2012.

〔2〕郑毓信.小学数学概念与思维教学〔M〕.南京：江苏凤凰教育出版社，2014.

〔3〕格兰特·威金斯、杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设计〔M〕.上海：华东师范

大学出版社，2013.

〔4〕贲友林.此岸与彼岸Ⅱ〔M〕.南京：江苏凤凰教育出版社，2015.

 

简评：此篇论文其实是一个课堂实录的分析，是在经过很多次细磨的过程中，最后以文字的形式呈现的，是课堂实践的一个结果。

推荐理由：我们可以在每一次磨课过后，以这样的形式记录课堂，以这样的格式形成自己的一篇课堂实录，以这样的一种方式促进对课堂的思考。