引例1-2  一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）

如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：

引例1-3  一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）

如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你不能求解第3题，请看第4题．

引例1-4  一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 

这是标准的工程问题了．

反思3： 解法3是在④、⑤中约去或取（这是小学的惯例），只能取1吗？由后面的运算知：取5000与3000的最小公倍数更方便．有

解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000，则前轮位置用了3个轮胎，后轮位置用了5个轮胎，共报废8个轮胎，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（）．

说明3：由这个解法可知，前、后轮位置的磨损有3：5的关系，从而可以改写为

解法5：（按比例分配）假设自行车已走了3000，后轮磨完，则一对轮胎只剩下前轮位置的2000；接下来按3：5的比例分配，前轮位置会磨掉2000的（后轮位置会磨掉它的），由知，一对轮胎可走

3000+750=3750（）．

反思4：我们已经有5个解法了，但还有一个当初很纠结的问题没有解决——轮胎什么时候交换？解法1由目标牵引，进行了①、②“两式相加”，而由两式相减呢？立即可得，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮位置行驶的路程等于其安装在后轮位置行驶的路程．这个实事有明显的几何意义：方程组①、②中的两条不平行直线关于对角线对称，其交点在对角线上（或说两个互为反函数的图像——两条直线，相交于对角线），有（演示一对新轮胎交换前后的路程相等）

解法6：（创设解法情景）设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到时，磨掉了一半的磨损量（正好等于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废．于是

        一对新轮胎的总磨损量

       前进的磨损量返程的磨损量，

有       ，                     

（这就是方程③）              图1

得        （）．

说明4：当时，式①、②、③就全都一样了．

不管题目还会有的多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法．这可以认为是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”．

案例分析2：关于教学设计的意图．（暂略）

（1）揭示问题的深层结构．

（2）沟通一题多解的内在联系．

（3）呈现解题分析的两个关键环节——解题思路的探求和解题过程的反思．

（4）解题化归的教学设计．

案例分析3：方程解法与算术解法的对比．（暂略）

1-3  理解的深化：发车间隔问题

引例1-5  某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟．

               图2

从字面上看，这个“发车问题”应与行程有关，但与常规“行程问题”相比，却又有诸多不同，表现为解题困难．                  

困难1：条件的数学含义不清楚．第1个条件“每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车”是什么意思、怎样使用？第2个条件“每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车”是什么意思、怎样使用？