情境描述

一元二次方程根与系数的关系是华师大版教材初三的一节内容，对于这个结论的教学，怎样让学生联想、观察出根与系数的关系，是教学的难点，而推导出根与系数的关系，则显得容易.以下选取了两堂课的教学片段.

[情境1]

师：一般地，对于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，今天我们来探讨一下根与系数有什么关系呢？

师：我们一起来回顾求根公式.

学生得出：两个根：x₁=, x₂= ，

教师一边问学生，一边板书：x₁＋x₂ =           ；即两根之和等于           .

=+.

再问：x₁•x₂=             ； 即两根之积等于             .

同上处理：=

              ==.

由此归纳出：一元二次方程的根与系数之间的关系为x₁+x₂=， x₁x₂=.

再请学生用文字语言叙述一下；然后出示四道课堂练习：不解方程，求两根的和、积，平方和，倒数和等问题（略）.

 [情境2]   一位老师对教材中的表格（见后）作了一些改动，如下：

方程	a	b	c	x1+x2	x1x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0

教师先让学生填表，2—3分钟完成.再请学生观察：有什么规律吗？学生很快发现了根是和系数的关系x₁+x₂=， x₁x₂=.（以下处理同情景1）

诊断剖析

综观情境1的整个过程，这位教师有较强的目标意识，做一件事，开始就明确目标；但为什么要研究根与系的关系？怎么想到要研究根与系数的关系？不清楚.之后是老师提出问题“一同回顾求根公式”，假设教师不提出，学生能否自己联想到用求根公式呢？回答是肯定的，因为有了方程的根，自然联想到求根公式；以下学生的计算，也只要代入公式、简单推算即可.因此，从教学理念分析，没有尊重学生的主体地位，无视学生的内在需求和学习状况；从教学目标分析，它是以知识传授为主要目标，缺少“思维发展”的目标，其过程都是老师告诉“这”与“那”，学生在被动地“练”，缺少思维的参与，这种教学方式是典型的注入式.

情境2 是先让学生算算、填填，通过独立的计算、观察，以获得规律，从课堂反馈：学生较容易得出，教学显得很顺利. 在教学理念上，尊重了学生的主体地位；在教学目标上，与情境1存在的问题相似，因为它是在教师指定的框架下进行，问题的指向过于明确，学生不需要多少思维的参与就能找到规律，也就难以激起他们探究的欲望，这与新课程注重发展学生的思维能力背道而驰.试问：学生怎么知道x₁+x₂，x₁x₂要和系数a、b、c联系起来呢？看似顺利的背后是教师在灌输，也是一种注入式教学.

解决方案

要解决情境1，2的问题，主要是避免教学理念的注入式，包括帮助一些教师理解“怎样的教学是注入式”.对于情境1的“直而白”，可以像新课程倡导的：创设一个合理的问题情景，让学生去活动、思考；对于情境2的“指向过于明确”，可以将问题设置得较隐蔽一点，让学生“跳一跳”才能“摘到桃”.

[方案1]

出示问题：（初三教材P₅₅问题3）解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，你发现表格中两个根的和与积，它们和原来的方程有什么联系？（注：将教材中方程的系数“系数”两字拿掉）

（1）x²－2x＝0   （2）x²＋3x－4＝0     （3）x²－5x＋6＝0.

方 程	x1	x2	x1+x2	x1x2

让学生先填表，2分钟即可完成.教师再请学生观察，回答上述问题，让学生思考2分钟. 与情境2比较，虽然同是让学生计算、填表、寻找联系，但少了a、 b、 c的提示，就使得这种关系较隐蔽.将隐含关系明朗化，则能促使学生思考，联想根和系数是有关系的！因为方程是由其系数决定的，能转这个弯，就OK了！若转不过来，则提示一句：方程是由其系数决定的，学生就能联想到两根之和、两根之积与系数的关系.这样，根据学生的实际，设置了由远及近的问题，旨在给学生以暗示，先用“弱暗示”提示语进行启发，视学情逐步增强到“强暗示”提示语，用这样的“分级提问”来达到对不同层次学生的引导，并促其思考，以达目标，符合“跳一跳、摘到桃”的原理.同时，激发起学生的求知欲望．

[方案2]（陕师大《中数参》2007.8 “如何在生成教学中彰显智慧的魅力” （章晓东） 片段）

师：今天，老师想和大家来个解题比赛，看看是老师算得快还是你们全班同学算得快.

学生的“胃口”马上被吊了起来，每个学生都跃跃欲试，但不知老师葫芦里买的什么药.

师：已知，求预备——开始.

老师话音刚落就马上脱口而出答案，并板书在黑板上，但马上有许多学生提出异议.

生1：老师，这不公平.这题目是你自己出的，能否让我们来出(很多学生随声附和).

师(微笑)：可以.

生1：走到黑板上写了，并马上说：预备——开始.

当学生还在奋笑疾书时，我马上脱口而出，.

学生惊呼又“输”给了老师，但马上有好几名学生在下面喊：我发现规律了……

我请了一名成绩中等的女生回答.

生2(徐燕红)：两根和等于一次项系数的绝对值，两根积等于常数项.(我把这两点顺手写在黑板上).

我当时一愣，怎么会是“绝对值”!原来我和生1出的方程一次项系数恰好都是负数，学生想到“绝对值”便是自然的事了.于是我转身问学生：按照“徐燕红规律”，的两根和是5吗？

生3(徐晓峰)：我求出两根分别是—1，—4，所以，所以两根和应该是一次项系数的相反数(教师顺手把绝对值改成了相反数).

师：那我们能否用“徐氏”规律来求方程的两根和与两根积呢？

生4(脱口而出)：，.

师(反问)：真是这样吗？

生5突然在下面不由自主地“喔”了一声，我知道他肯定有新发现，于是让他来回答.

生5：应该是+1.5和0.5.

师：怎么来的？

生5：刚才两个二次函数系数为1，所以这个方程应该先把二次项系数化为1，即.

师：很好.你验证这个结果成立吗？

生5：我算过了，结果是成立的.

师：不错.…….

师：以上只是猜想，对于一般的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，是否都成立呢？你能推导其关系吗？

学生跃跃欲试，很快得出结果，成功的喜悦挂在他们的脸上.

此方案通过解题比赛的情境，既激发了学生探究的兴趣，又诱发了学生的思考；对于根与系数的关系，从二次项系数为1的转到不为1，引发第2次认知冲突.两次认知冲突逐层递进，最后，又从特殊的猜想发展到一般的推理证明.这样让学生的思维水平在提出问题、解决问题、产生新问题的循环往复中得到提升.

“结论教学”中的结论包括定理、推论、法则、公式等.综观现行的数学课堂，像情境1、2的注入式教学有一定的“市场”，注入式特点是重结论、轻过程，教师“牵着”学生走，学生被动的接受；究其原因，除了习惯、惰性外，与片面追求升学率、实施大容量训练有关，但它与新课程倡导的“以人为本”，“促进学生思维的发展”的理念极不相符. 像方案1 、2那样，让学生不停地经历观察、猜想、归纳、验证的数学探究过程，不断获得成功、失败的体验，有利于创新型人才的培养，同时知识技能的掌握效果也是可以预期的.从以上分析不难看出，结论教学的形式，方案1、2都是不错的，但从学生的兴趣和效果看，方案2最优.

该课例给我们以启示：在新课程背景下“结论教学”的引入技能，要求教师切实转变教学观念，以学生的发展、思维的提升为出发点，考虑为学生创设激趣、符合“最近发展区”原理的问题情境，结论让学生自己去探索、归纳，促其思考、感悟和体验，在学生有困难时，教师才做适当的点拨.

问题延伸

以上课例促使我们思考这样的问题：（1）“结论教学”的巩固环节靠大运动的训练有效吗？（2）显然，不同版本的教材都有一定的局限性，现在教师都有这样的共识：是“用教材教”，而不是“教教材”，但面对不同地区、不同学生、不同的教学内容，该如何进行合理取舍？