前不久，某区举行“市、区教学新秀”评比赛课活动，课题为苏教版必修二. §2“两条直线的平行与垂直(1)”（以下简称教材）。笔者有幸作为评委参与了四位青年教师的课堂教学全过程。在欣赏他们绚丽的多媒体演示、热烈的课堂教学气氛、精彩的师生互动表演的同时感想多多：解析几何的本质是什么？本节课的重、难点是什么？学生学过哪些知识点、本节知识与它们有联系吗？结合章建跃博士提出的数学课堂的“三个理解”即理解数学（教什么？）理解学生（教给谁？）理解教学（怎么教？）从理解数学的角度，谈一些个人想法，以反思课堂教学的遗憾，寻求数学教学的真谛。

一、数学的本质的理解不到位

片段一：

= 1 \* GB2 ⑴若 

=2 \* GB2 ⑵若

结论一：两条不重合且斜率存在的直线

选手C、D引入各有亮点，证明同选手A。

反思：解析几何本质是用代数方程研究几何图形的性质、位置关系，将几何问题转化为代数问题从而用代数方程研究几何问题，充分体现数形结合的数学思想⁽¹⁾。本节课中三位选手都是从数入手，若逐步推证；反若之，再逐步推证。教材明确指出，“若……，反之……”（教科书），由“形”的问题两直线平行出发，为精准刻画这一问题，选用倾斜角、斜率等熟悉的基本量这个“数”来完成。反之若两直线是否平行，实质解决一个完备性问题，从而得到课本上结论“对两条不重合且斜率存在的直线.”

二、教学重点的把握不准确

片段二：

选手D 例2：，. = 1 \* GB3 ①若，求a的值； = 2 \* GB3 ②若平行，求a的值.

由 = 1 \* GB3 ①，由 = 2 \* GB3 ②，而时，l₁与l₂重合.

师：为什么 = 1 \* GB3 ①不出现重合的现象而 = 2 \* GB3 ②出现重合了呢？

多媒体演示： = 1 \* GB3 ①中过定点 而该点不在直线l₁上，所以l₁与l₂不会重合.

片段三: 选手A

例3：已知直线，直线，试求a的值使得 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②l₁与l₂重合； = 3 \* GB3 ③ l₁与l₂相交.

练习：已知直线，直线，试求a的值使得 = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②l₁与l₂重合； = 3 \* GB3 ③ l₁与l₂相交.

片段四：选手C、D

直线，直线，指出A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂、满足什么条件能使？

反思：本节内容为“两条直线的平行与垂直”，教学参考书的要求“能根据斜率判定两直线的平行垂直”（必修书二教参P₉₁）,前提是两条直线不重合，而这里，两位老师花了大量时间研究重合、相交情形。另一位老师对直线方程一般式平行、垂直进行详细的讨论，明显拔高要求，偏离本节教学重点。

三、模块间知识联系不紧密

片段五：

选手B用三角函数证明平行与垂直，而遇到了不易处理的问题：，选手C用初中相似三角形证明（教材提供）。现行高中数学教学通常是14532或14523的顺序进行的。无论那种顺序都是先教学向量内容，再教学直线与圆。本次供选手比赛所选学校数学教学顺序即为14532.由于教者只关注教材本节，本章或是本模块知识之间的联系，忽视了模块与模块间知识关联。事实上，参考书第二章设计意图明确指出“在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性^（2）。这样将有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程。”

反思：给定直线上任意两点，，则直线l的方向向量，可选取直线的方向向量为，两不重合直线，，若，则

∴ ，即，反之亦可，∴.若，则

∴，即，反之，若，则∴

∴∴.

给定直线，直线l的方向向量为（-B，A），类似可得，对于两不重合直线，直线，，.

四、教学思考与启示

1. 要重视对数学本质的理解.

“思维是从问题开始的”，教师问什么样的问题，以怎样的方式问问题，对学生正确理解概念本质有很大的影响。本节课有三位老师都采用了利用小题复习直线的斜率、倾斜角概念，试图让学生发现斜率相等的两直线它们是平行的，还有一位老师提出初中是如何证明两直线平行，试图通过同位角（倾斜角）相等来证之。这样一来对解析几何本质理解不到位，二来对教材编写意图不理解，教材中本章的章头图如图（一）

        图一                                           图二

若我们开始就用多媒体投影这幅图案，配图二，一方面展示中国的超级工程：高铁，增强爱国热情；另一方面观察铁轨两侧看作两直线，提出问题：它们的位置关系，华罗庚先生说过，形缺数时难入微。我们如何准确刻画两直线平行位置关系呢？问题，两不重合直线，， 若，则，反若之，则。教师只有在正确理解数学本质的基础上，依托学生熟悉的生活情境、已掌握的数学知识，提出问题，激发兴趣，启发思维，提升能力，培养数学素养。

2. 要重视对教学重点的把握

讲什么比怎么讲更重要，教参明确规定本节重点是“能根据斜率判断两直线的平行与垂直”，片段2、片段4中选手对两直线是否重合及对于直线方程一般式讨论它们是否平行、重合、相交的情形，学生听得云里雾里。根本无法判断，也不知道本节课究竟学到了什么？临时记住的一些零散的结论也许当下还能解决一两道题，但时间一久，学生必定一无所知。事实上，对于两直线重合以及斜率不存在的情形，只需学生注意讨论即可，不必深究。否则就偏离了本节重点。使学生误解。

3. 要重视模块间知识的联系

数学本身是一个整体，其整体性不仅表现在同一章节，相同模块间，也体现在不同模块间的联系上。平时教学中，我们的教学往往是点状呈现，即所谓的知识点，学生学起来也就是孤立的，零散的。到了高三，特别是高三二轮复习才想到要教知识间相互联系，模块间结合。正如有些老师所说：高一、高二主要任务是学习各个知识点，就好似我们做一桌菜，就是从市场购买各种新鲜、美味的原材料，高三才是将各种原材料组合烹饪出美味可口的菜肴。事实上，若我们在起始年级更多的关注一些知识间的联系，让这些孤立的知识点联成网，织成片，搭建成立体的框架结构，它不仅能让学生对这些知识点掌握的更牢固，同时能吸附更多的新的知识点，本节课若能从平面向量的角度证明两直线平行、垂直，不仅学习了本节知识点，也是对平面向量相关知识的回顾与升华，让学生感觉学有所得，体会知识间不是孤立的。数学教学不仅要教知识，教解题，更重要的是教知识间联系，为学生搭建知识点为支点的金字塔，让学生在这个空间自由地遨游！