主题为“高效课堂、魅力数学”的江苏省初中数学特色课堂展示、研讨活动2012年底在美丽的无锡市河埒中学举行，该校青年骨干张老师执教的一堂九年级“二次函数的应用”专题复习课——“探究抛物线内接图形的面积问题”，那精心的设计、合理的实施、默契的互动，给听者留下了深刻的印象，这是一堂高效的数学展示课．

所谓高效课堂，就是遵循教学活动的规律，选用合适的手段和方法，以较少的投入取得最佳的教学效果，其考量标准既要看短效（当前成绩），更要看长效（是否有利于学生能力和兴趣的培养）．下文以这堂专题课为例，谈高效数学课堂的几个关键词．

 

1.      适合学生，在“最近发展区”预设是高效课堂之“基”

 

《课标（2011年版）》（以下简称新课标）指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．了解学生，是一切教学的基础，适合学生，是因材施教的体现．要成为高效课堂，教师不仅需要熟悉课标、教材，更需要对学情充分了解．这样才便于作出准确的分析和预设，找到解决问题的关键，产生高效．

适合学生的预设，一般包括学情分析、内容选取及教学法选择等方面．对于本课而言．

（1）学情分析：学情包括所教学生的“四基”以及思维、学习习惯等情况．所教学生为河埒中学九年级一个层次较好的班级，该班大部分学生基础扎实、思维敏捷，学习主动性强．教师是本班的科任教师，对每位学生的认知基础、疑难点、易错点以及学习态度、习惯、思维方式等等，都比较熟悉．因此，对于某一专题的综合复习课，教师设置含有一定数量、有一定思维要求的问题，是可行的．

（2）内容选取：九年级学生已学习了一次、二次函数的图象与性质，学习了直角坐标系的初步知识，对函数思想、坐标已有初步认识，也知道求解图形面积的简单割补法，具备一定的分析问题的能力．为了体现新课标“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的要求，结合中考复习，教师以“抛物线内接图形的面积问题”为载体，综合运用二次函数、坐标等知识和割补、数形结合等思想方法，让学生经历观察、猜想、分析等探究过程．开始通过一组二次函数解析式与图象的对应，让学生“认一认”，唤起学生的回忆，体会文字、图形、符号三种语言的相互转化，突出数形结合思想；然后通过一道开放性问题“已知二次函数 y= x²－2x－3，你能获取哪些信息？”让学生“说一说”，重在培养学生对信息提取能力，培养发散思维；之后，通过一道例题、一个变式和一个拓展问题，探求解决抛物线内接图形的面积；例题为由浅入深的5小题，富于层次性，有基础的、也有挑战性的；拓展问题虽有难度，但在教师的引导下成功解决．最后通过“归一归”，让学生梳理解题思想方法，并提炼．

（3）教学法选择：根据学情及选材，教师确定以“启发、探究式”为主线开展教学活动，以多媒体技术作为辅助手段．

课堂反馈：上述预设落在学生认知的“最近发展区”内，取得了理想的教学效果．因此，适合学生是产生高效课堂之基础．

2. 适度探究，合理设置问题、积极参与探究是高效课堂之“重”

数学教学的核心任务之一是培养学生的思维能力．新课标提出，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．而一线教师面临着升学的压力和教学任务的限制，对于大的探究活动，一年一般只进行3—4次，而日常教学中，可以实施局部探究^【1】．对于九年级学生，根据学生的认知特点，选择一些与所学知识相关联，结论不确定、方向不明的小专题或某个数学问题，用5—15分钟时间，在教师的组织、引导下，让学生进行探究性学习（尝试、转换、猜测、验证等），以获取知识、培养能力及体验过程．而探究活动离不开问题设计．本课教师主要是通过一道例题、一个拓展，实施适度的局部探究．

课堂片段摘录1：

教师依次投影下列五道小题：

试一试：已知二次函数y=x²－2x－3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C.

（1）求S_△ABC；

（2）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得S_△NAB = S_△ABC，

若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）在x轴下方的抛物线上找到一点P，使S_△ABP最大，求S_△ABP；

（4）若点P是抛物线的顶点，求四边形ACPB的面积；

（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是抛物线上的一个动点，试求四边形OCMB面积的最大值及此时点M的坐标.

生1：对于（1），因为三角形的面积等于二分之一的底乘以高，所以S_△ABC=6.

师：请具体说出底和高是如何得来的．

生1: 是用坐标，底为|3—（—1）|，高是点C的纵坐标|—3|．

师：说得很精彩！

生2：对于（2），两三角形面积相等，已知同底，只要等高即可，以x轴上线段AB为底，高分上方、下方两类．

师（追问）：为什么？

生2：利用二次函数图象的对称性．

生3：对于（3），我从图上看出来，点P在抛物线顶点时三角形面积最大；因为底不变，只要高最大，面积就最大．

师（变式追问）：是否还存在点N，使S_△NAB =8？如果存在，你能找几个？如果S_△NAB =10，这个点N有几个？

学生回答（略）

对于（4），在教师启发下，三位学生先后说出了三种不同的分割，将四边形转化为一边在坐标轴上的三角形．

师：我们分割图形的原则是什么？

生7：为了计算方便．

师（追问）：你能说得具体一点吗？

生8：尽量让图形的一边落在坐标轴上，可以利用坐标求解．

生9：对于（5），我猜测，当点M运动到点P时最大，只是感觉．

生10：不一定．（得到部分学生的呼和）

师：生9敢于猜想，很不错，其他同学敢于质疑，更难能可贵．究竟谁正确呢？

师：本题的目标是什么？

生：求四边形的面积．

师：你有办法把它表示出来吗？

学生受启发，将四边形分割为两个三角形．连结OM，设M（a,b），

得S_{四边形OCMB}=S_△OCM+S_△OBM=．

面对式中出现的两个未知数a，b，怎么处理呢？

生11：把二次函数代入，得

=．

当a=时，S_{四边形OCMB}取得最大值，此时M（，）．

师：猜想不成立．通过该题的解答，你有什么感受？

生12：在解答问题时，如果用图形解决有困难，可以用“数”解．

师：大家还记得我国数学家华罗庚的一句经典吗？

生（不少）：数缺形不直观，形缺数难入微．

师：对！数形结合方能显威力．你们发现了吗？求二次函数的内接四边形面积，最后还是一个关于a的二次函数，可见数学内容之间是有联系的，世界就是一个充满联系的整体．

局部探究后点评：

（1）局部探究要选择一个合适的载体．选择三角形、四边形的面积作为载体，贴近学生，便于参与其中．问题（1）虽简单，但是为后面探究复杂图形作铺垫．三角形的面积抓住其核心——底和高，坐标转化为长度需加绝对值．问题（2）—（5）方向不明，需要探究．通过问题（3）（4）及变式，让学生体会“找点的方法”，感悟出求解抛物线内接图形的解题关键：其一，求四边形的面积要合理分割；其二，充分利用坐标与底和高的关系．

（2）局部探究既含猜想，也含证明．教师考虑学生的认知规律，从特殊到一般（从三角形到四边形，从特殊三角形、四边形过渡到一般三角形、四边形）循序渐进，为九年级学生的探究活动支起了一个“脚手架”. 通过上述系列问题的探求，学生在猜测、判断后，教师不忘再追问其理由，使学生说出其所以然．可见教师既教猜想，也教证明，这既有益于学生寻求规律，也不忘揭示知识背后的“理”，促使学生对数学的理解更全面．

（3）局部探究需要教师的适时点拨与机智应变．如教师的一句提醒：“本题的目标是什么？”、“把它表示出来？”是一个很自然的想法，教师在学生困难处“扶一把”，寥寥对话，就促成了疑难问题的解决；如教师的一句感受“世界就是充满联系的一个整体”，在初中数学课堂有意渗透一点唯物辩证法的思想，凸显高立意．因此，要使得探究活动高效运行，需要教师的适时点拨与机智应变．

（4）局部探究需要学生的积极参与．课堂是学生的课堂，该课学生都积极参与探究活动，全班学生都曾举手发言，参与回答的超过30人次，有8—9位学生上黑板展示思维过程，大多说得很精彩，学生有机会展示自己的才能、张扬个性，获得成功的体验．由于学生亲历了局部探究过程，不仅加深了对抛物线内接图形一类问题处理方法的印象，还有助于培养学生的探究意识和思维能力．其中，教师精心设计问题探究，给予学生充分说，给予热情鼓励，是学生收获成功、感受乐趣的关键．无疑，这次适度的局部探究是高效的．

3．清晰教学，把“复杂”问题教简单是高效课堂之“保”

人教A版教材主编寄语有这样一句话：“数学是自然的、数学是清楚的”．刘绍学的这句朴实的话，对数学的认识可谓入木三分，导出了数学的真谛．但为何一谈起初、高中毕业班数学，总免不了与“难”、“深”联系起来，其实有的是问题设置过难，有的是教者没有把“理”讲清，使学生理解难．因此清晰教学、深入浅出就成了高效课堂一个重要保障．

清晰教学，首先要求教师对教材有一个准确理解（见第一部分）．要认真研读新课标，厘清教材的编排体系，把握各知识间的纵横联系；还要读懂显性知识背后的数学思想、文化及理性精神等隐性知识．教者需要把这些想清楚、弄明白，再考虑实施就能胸有成竹，给学生留下清晰、深刻的印象．

课堂片段摘录2：

片段（1） 教案上教师制定的教学目标：利用二次函数知识分析、解决有关三角形、四边形的面积问题，让学生经历观察、分析、概括等局部探究的过程，体会“数”“形”结合、分类讨论、转化和割补的思想方法．通过引导学生在活动中积极思考、获得成功体验，从而激发学生学数学的热情，培养探索精神．教学重点是运用二次函数的性质求解抛物线内接图形的面积；难点是利用割补法，求解底不在坐标轴上的图形的面积．

从课堂反馈，其教学流程：“认一认→说一说→试一试（五个问题）→练一练→归一归→悟一悟→拓展．”

片段（2） 在“说一说”环节，教师出示开放性问题“已知二次函数 y= x²－2x－3，你能获取哪些信息？”

生1：开口向上，对称轴为x=1，顶点（1，—4）；

生2：图象与x轴有两个交点（—1，0）（3，0），与y轴有一个交点（0，—3）

生3：当x=—1或x=3时，y =0，当x<—1或x>3时，y>0，当—1<x<3时，y <0．

……

教师：能否把这么多信息简单明了的呈现？

生（不少）：图象、图形．

教师点击手控鼠标，版面上立刻呈现出二次函数的清晰图象．

试一试（5），求四边形OCMB面积的最大值（见摘录1）．

……

师：这说明“数形结合”思想——

生（不少）：很重要、有威力．

片段（3）：在课堂收尾环节，教师呈现七张不同类型的图，让学生“归一归”．

两位学生回答（略）．

教师投影，分为两类：

一类是底边在坐标轴上，高就是第三个顶点的纵坐标的绝对值；

另一类是底边不在坐标轴上，可利用“割补法”转化．

点评：由片段（1），结合前文第一部分，教学目标如此定位，清晰而准确，并且这一目标在教学过程中都得以体现；五个环节的教学流程，清晰而有重点，均给学生留下清晰的印象，便于产生高效课堂．对于问题讲解，教者是以思想方法为依托展开的．教师一句提醒，其所有信息均在图形上一目了然；试试（5），当“形”有困难，教师一句提醒，学生马上转向“数”解决．在此基础上，教师强调“数形结合”的思想，则显得很有分量．新课标要求教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握“四基”．在解决数学问题时，如果能自觉运用数学思想方法，有时事半功倍，并给学生留下清晰而深刻的印象．片段（3）的清晰小结，既便于记忆、积累，也突出体现分类、转化、割补等思想方法．这样，学生有“路”可循，有“法”可依，使得某些深、难问题变得浅显易懂．另外，张老师自身具有过硬的教学基本功，清晰而富激情的语言，阐述问题循循善诱、娓娓道来，给学生和听者以美的享受．

有了清晰的目标和重难点，精心选编好问题，考虑适合学生的处理方法，还要考虑按主次分配好时间，是“淡妆”还是“浓抹”，“浓抹”也应有个“度”．本课调控的恰到好处．

其一，教师给学生提出问题，一般预留1—3分钟，学生经过简短思考就能回答，个别地方仍显困难，教师作必要的提醒、让其再思考，保证探究活动的畅通．其二，对不同难度的问题，让不同层次的学生解决．对于一些简单问题，就让基础薄弱的学生回答，教师只肯定，不再重述．而对于一些难点问题，如本课的底不在坐标轴上的分割和拓展等难度较高的问题，则放慢节奏、多预留时间，让“尖子生”回答．对那道重点例题则显示层次分明，既照顾到面上（全班），也兼顾其点（少数尖子），教师用了10多分钟引导学生探究．这样，详略得当，不仅师生对话默契、按时完成教学任务，还使该班学生觉得数学有趣、可亲，学数学轻松．

综上，张老师不仅拥有“清晰”的优势，善于厘清脉络，详略得当，而且善于借助数学思想方法的魅力，把复杂问题简单化，把数学讲通俗，讲形象，讲容易，可谓深入浅出，这是构成高效课堂之重要保障．从课堂反馈：学生积极参与探究、问题解决正确率高，目标达成度较高．另一个直接高效的产出是，张老师所带班级的中考成绩在滨湖区名列前茅．

当然，本课并非完美，教师在熟练运用多媒体辅助教学时，如果能借助《几何画板》的动态功能，把动点的运动情况演示出来、定格屏幕，学生将看得更为清晰，使过程教学更显饱满．另外，还可以在某些“点”，放手让学生提出问题，更有利于培养学生的思维能力，如此课堂将变得更为高效．