聚焦数学本质 促进数学理解

 匡金龙

【摘要】聚焦数学本质，促进数学理解是数学教学的永恒追求。本文从课堂教学的基本环节“新知引入、新知探究、新知应用” 三个方面来探索聚焦数学本质，促进数学理解的策略，旨在通过课堂的深度引领与智慧点拨，让学生的数学学习在充满挑战中深度理解，智慧而归。

【关键词】 数学本质 数学理解 引入 探究 应用

追求数学本质的理性把握是数学课堂的必然归宿，也是数学教育价值的根本体现。诚如英国学者P·欧内斯特(P．Ernest)说的：“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。”数学本质在微观上是指具体数学内容的本真意义。它既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。聚集数学本质就是要立足于数学知识的本质挖掘和核心揭示，引导学生在理解数学方法的同时，感受数学知识背后隐藏的数学思想，体验数学知识的产生过程。在这种数学本质的洗礼下，学生会更加洞悉数学的本来面目，实现真正的数学理解。

一、新知引入，返本还源——让学生在学习需要中感悟本质

“良好的开端是成功的一半。”美国心理学家阿希认为：第一印象的作用最强，持续的时间也长，比以后得到的信息对于事物整个印象产生的作用更强。人们对于事物的整个印象，一般是以第一印象为中心形成的。因此，要让学生在有限的时间内学到有价值的数学，新知导入时就要切中学习内容的本质，让学生的思维迅速、主动地进入最佳学习状态，为新知探究奠定必要的基础。

1.情景素材，贴近本质

情景素材是数学知识和数学问题的基本载体。学生学习素材的选择要尽可能地贴近数学事实，利于激发学生学习数学的热情，利于学生通过观察、想象、对比、归纳等一系列手段，发现其中蕴含的知识内涵，更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，以便于他们从整体上理解数学，把握数学的本质。如苏教版六年级《解决问题的策略（替换）》这一内容的教学中，在引入部分，有位老师提供了看天平说结果的情景素材：第一个天平的一端放3个苹果，另一端放重360克的砝码，第二个天平的一端放2个苹果和3个梨，另一端放540克的砝码，让学生说出每个苹果和梨的重量。分析这个情景素材，这里呈现的天平事理与替换的数理是相通的。首先，天平的平衡反映了替换中的等值，其次，先前直观的操作演示帮助了后续内隐的替换想象，学生在这一过程中，形象地感知了替换的生活原型，积累了从生活化到数学化的经验，这样的情景素材直指了替换的本质内涵，为学生后续的有效理解打开了通道。

2.已有经验，对接本质

学生的学习是基于经验的。数学本质的理性把握，必须基于学生认知经验的基础。数学教学应该与学生的已有经验有效链接，唤醒学生心理上与数学本质相通的生活体验与相关知识，以意义理解为突破口，帮助学生找到理解的支点，适时对学生的经验进行重组、改造和提升。

如苏教版四年级《乘法分配律》教学引入时，有位老师出示了这样两道实际问题：“上衣每件65元，裤子每条35元，买这样的8套，一共需要多少元？一张课桌56元，一把椅子24元，买这样的10套需要多少元？”让学生用两种方法解答。依据儿童心理发展的规律，数学模型的建立必须以直观具体的内容作为抽象形式的背景与基础。学生对于乘法分配律的使用，生活中是有经验的。解答这两道题的过程，就是引导学生将生活现象中的具体属性抽象出来，成为反应乘法分配律的数学模型。这样的经验唤醒，映射和鉴证了乘法分配律的本源和本质，有效地促进学生从生活事理向数学原理的嬗变，有利于学生深层次地理解乘法分配律。

3.激发需要，扣紧本质

《<基础教育课程改革纲要（试行）〉解读》谈到：“只有那些能够激发学生强烈的学习需要与兴趣的教学，只有那些能够带给学生立志挑战的教学，那些在教学内容上能够切入并丰富学生经验系统的教学，才能有效地增进学生的发展。”因此，新课伊始，创设富有挑战性的、紧扣新知本质的问题情境显得尤为重要。学生带着积极的情绪、强烈的需要参与到课堂，非常迫切的想要探究新知的来龙去脉，主动探究意识强烈，数学理解也将深入。如教学“认识分数”引入时，有位教师设置了这样一个问题情境“花果山上有四个家庭。一家有2只小猴，一家有3只小猴，另一个家有4只小猴。有一天三个猴妈妈一起下山，都去买了一个饼，这三家的饼都一样大。猴妈妈把买的饼分给小猴吃。想一想，每家的猴妈妈怎样分这个饼比较合适呢？……每家每只小猴都只能吃到这块饼中的一份。同样是吃了一份，这三家的小猴吃得同样多吗？那么它们到底吃了多少个饼呢？怎么说既简单又清楚呢？”学生在表述饼的过程中，用到了“半个、小半个、小小小……半个”来描述每家分的情况。这时老师及时通过“怎么说既简单又清楚呢？”巧妙的质疑，“诱导”学生迫不及待地探寻新的表达方式“分数”，这里的 “愤”“徘”意境，切中了分数意义的本质，紧扣了本课教学核心，在这样的通道下，学生的思维既是积极的，也是正向的，为实现对分数本质意义的理解作了良好的铺垫。

二、新知探究，追本溯源——让学生在思维激荡中理解本质

第斯多惠在《德国教师教育指南》中谈到：“只教给学生以最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里。”因此，在课堂教学新知展开的过程中，需要教师关注数学概念、思想的本质以及发展的历史本源，关注其形成、发展的原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活概念、经验与数学概念之间的本质联系与区别，尽最大可能引导学生的思维聚焦到数学知识的本质内涵中，带领学生充分经历与发现数学知识的发生、发展之根本，让学生的思维在跌宕起伏中真正理解知识的本质。

1.引导探究，直指本质

“探索是数学教学的生命线”。波利亚认为“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”。因此，在新知探索环节，教师要精心创设问题情境，促使学生经历主动探究，深层思考，让数学知识通过学生自身的“再创造”活动，从而深刻纳入到自身的认知结构中。如一位老师在教学“长方形面积”时，优化了教材的意图，为学生提供8个1平方厘米的小正方形，并先后依次出示如下四个长方形，1号图：长4宽2，2号图：长5宽3，3号图：长8宽6，4号图：长30宽20，引导学生借助手中的8个小正方形，通过摆一摆探索出长方形的面积。仔细分析这四个问题，很好地体现了探究的四个层次：第一层，直接摆就可以得到面积，主要是让学生体会面积的数学本质是若干个面积单位的集合。面积单位是一个个小正方形，一个平面图形的大小就是看它包含了多少个小正方形这种面积单位。第二层，小正方形不够了，是一次跳跃，迫使学生想到沿着长和宽摆。第三层是形象到抽象的逐步转变，部分学生可能还在依赖摆小正方形，但一些学生可能已经能抽象了。第四层是飞跃，正方形太大了，摆太麻烦了，促使学生在更高的层面对长方形的长、宽重新进行建构，想象操作过程，压缩逻辑推理，去异存同，从“算式”到“公式”，“创造”出长方形的面积计算方法。四个层次体现了学生完成活动经验数学化的四个步骤：具体操作——表象操作——抽象概括——数学化，让学生深刻感悟看到长是多少就知道一行是多少个，看到宽是多少就知道可以摆这样的几行，在步步深入中深刻理解长方形面积计算公式的本质意义。这样的教学，借助现实有趣的活动，既帮助学生实现对长方形面积计算公式的自我建构和发展，发展了数学思维，又获得了对长方形面积学习本质——二维空间观念的培养。

2.暴露思维，凸显本质

数学教学最重要的使命是要使学生学会数学地思维，将思考不断深入，思维不断深刻，方法不断体悟，思想不断领悟，从而“通过数学学会思维”（郑毓信语）。在引导学生思维的过程中，教师要充分地暴露学生不同的思维过程，激发学生思考争辩，鼓励学生多维交流，让他们在尝试、探索、解惑的过程中，在不同角度、不同层次的理解中，不断修正自己的观点，逐渐发现事物的本质，获得对知识的更深的理解。如苏教版三年级下册“分数的意义”的教学，为了让学生深刻理解分数的意义，有位教师在带领学生探索了1个桃的四分之一、4个桃的四分之一后，出示了8个桃的图片，让学生画一画，在图上表示出“将8个桃平均分给4只小猴吃，每只小猴可以得到这8个桃的几分之几？”并用分数表示出来。反馈时，老师充分暴露了学生的思维，有的学生说“是8(2) ，因为有8个桃，每只小猴吃到了2个，所以是8(2)”。有的学生说“应该是4(2)，因为是平均分成4份。”还有的学生说“应该是4(1)。”……期间，学生争论不休，教师还趁机“煽风点火”，故意肯定错误的学生。在一段时间的争辩后，答案渐渐趋向一致，一位学生总结道：“这里讲的是分数，只要看平均分成的份数和取的份数，与总个数没有关系，所以是4(1)。”这里，老师及时设置了一个暴露思维的环节，通过交流、反思，学生从“关注个数”向“关注份数”转变，认识到4(1)的本质属性是“平均分后四份中的一份”。学生在争辩中经历了一个冲突、碰撞、重组和整合的思维进程，实现了真正的分数意义建构。同时，这样的争辩还使学生获得“精神的熏陶”，即超越知识学习的技巧性与功利性追求，拥有数学课堂本该拥有的思辨的文化气质和从容姿态。

3.及时类化，固化本质

人类进行发明创造的过程有时也是知识类化的过程。在数学教学中，教师要善于把握知识之间的内在联系，抓住问题的本质核心，在教学中合理运用类化，促进学生对数学知识本质的理解，培养学生的创新思维能力。还是乘法分配律的教学，很多老师教学中只局限于教材上（a+b）×c=a×c+b×c这种范式的探究，其实这样学生对乘法分配律的本质理解还是不够深入的。其实，在得出范式后，可以带领学生进行知识的两次类化。第一，根据乘法分配率的意义判断下面两组等式是否成立？35×18+26×18+39×18=100×18，102×29-2×29=100×29，学生在说理由的过程中，思维快速向纵向数学化铺开，围绕几个几加几个几等于几个几，几个几减几个几等于几个几这一乘法意义进行阐述。在这判断过程中，学生在头脑中构建起“形”和“质”之间的联系，明晰了乘法分配律的本质含义——无论算式的形式怎么变，它们都遵守“等式两边求相同的几个几”，进而把握“形变而质不变”（即量的守恒）这一乘法分配律的精神实质。第二，请利用乘法分配律说说竖式计算125×88的原理。学生在叙述算理的过程中，沟通了竖式与乘法分配律本质之间的联系，领略了“形散而神不散”的真谛和精髓。两次类化，引领学生把握了对问题实质的理解，同时也提高了学生的思维水平，让学生的思维从粗浅向深刻升华。

三、新知应用，强本固源——让学生在实践思考中深化本质

新知应用环节是课堂教学的重要组成部分，是促进学生有效理解知识本质内涵的重要环节，是完善学生认知结构的核心部分，其效果直接关系到教学的质量和学生的发展。因此，在这一环节，教师要针对性地设计一些有效的练习，来促进学生对知识的比较、辨析、归纳、拓展、联想，从而深度理解知识。

1.变式比较，突出本质

变式比较，即根据课堂教学内容的需要，从不同角度组织材料，不断地变换其教学素材与情境的呈现形式，不断地变换习题的非本质属性，突出本质属性，并使有关的本质属性相互“联结”，形成“主心骨”，让学生领略“万变不离其宗”的奥妙。如在周长的意义探究完毕后，有位老师及时对正方形的周长进行多次的变式，先出示一个用12根小棒搭成的正方形，让学生说说周长是多少，然后变成一个剪去一个角的正方形的形状，让学生通过操作说说周长是多少，再变换成凹字形、 凸字形的图形，让学生想办法说出周长是多少。这里的三次变化，较好地创造了图形的“变”与“不变”的情境，学生在这样的变化中，通过直观操作，逐渐过渡到表象操作，剥离图形的外层属性，提取核心部分，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，对知识之间从形到质的联系做出细致深入地探究，对长方形周长的意义与本质有更深入的认知和理解。这样的比较能帮助学生挖掘更深层的内容，掌握更多解决问题的思想方法，使学生的思维层层递进，不断深化，拓展到一定的深度。

2.疑难辨析，清晰本质

皮亚杰认为：“学习是一种通过反复思考招致错误的缘由、逐渐消除错误的过程，这也同样适用于学习过程中存在的混沌。”面对学生在新知学习中出现的混沌，教师不应见弊就避，而应在知识的疑难处“潜”进去，给予学生一定的时间与空间去进行疑难辨析，将认知向纵深发展，深刻理解现象，寻得现象背后的本质，由表及里，去伪存真，认清数学问题的本来面目，最终实现折回而后逾越。如对体积的概念初步认识之后，有位教师及时创设了这样两个情景辨析题，第一，1千克的泡沫与1千克的铁块体积一样大。第二，第一块橡皮泥的体积比第二块橡皮泥的体积大（配图：第一块橡皮泥是一个扁扁的长方体，第二块橡皮泥是正方体形状的）。学生在判断时，多数学生受表面现象的干扰，认为两题是正确的，于是，老师及时进行了情景操作，第一题，让学生现场掂一掂、看一看，第二题，让学生现场用橡皮泥还原。教师这里创设的两个疑难辨析的情景，可谓是巧妙的。由于体积概念的抽象性，学生往往把体积混同于重量或者面积，教师通过辨析，把学生带入了一个“徘”的境地，此时，教师又及时通过操作，将学生从困境中解救出来，学生在这样的体验中，逐渐剥离了干扰体积概念形成的非本质属性，真正清晰了体积的本质内涵。

3.实践应用，提升本质

波利亚说：“学数学，就是做数学”。数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，教师应当创造机会，让数学走进学生的生活视野，不断激发学生应用数学的兴趣，发展学生的思维，培养学生的探索意识、应用意识和实践能力。如教学完“长方体表面积的认识”后，一位教师及时组织学生进行一次实践活动。在每个小组桌上放两个火柴盒，现在要将这两盒火柴包装起来，请大家给他设计一个包装方案并计算需要多少包装纸。活动反馈时，在计算包装纸的方法中，有的小组想到了两个小长方体的表面积之和去掉遮蔽面积，有的小组想到了看成一个大长方体来进行计算，有的小组三种包装方案全部想到，并一一算出了需要的包装纸，有的小组提到了把两个最大的面放在一起包装最合理，因为这样最省材料……通过这样的实践活动，学生不仅有助于学生理解长方体的表面积含义和实践应用价值，还有助于他们获取比单纯知识本身更重要的东西——数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

“本质是灵魂的回头，是静心的观照”。聚集数学本质，促进深度理解是数学教学的永恒追求。唯有从数学本质出发，向学生展现数学的独特魅力，学生才能通过主动积极地学习，建构对数学的理解，当然也包括对数学学习本身（观念、态度、方法和价值观）的理解，从中获取智慧的启迪、素养的滋润和生长的力量！

【参考文献】

[1]王林等.小学数学课程标准研究与实践[M] .南京:江苏教育出版社

[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础及过程[M] .上海：上海教育出版社

[3] 柯朗.什么是数学[M] .上海：复旦大学出版社

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