平面图形的面积总复习
教学内容：
苏教版小学数学六下总复习平面图形的面积。
教学目标：
1.引导学生回忆平面图形面积的计算公式及推导过程，探索知识间的相互联系，构建知识网络，以加深对知识的理解，并从中学习整理知识的方法。
2.经历想一想、算一算、分一分等数学活动，进一步体会数学知识和方法的内在联系，体会转化、类比等数学思想方法，发展空间观念。
3.培养学生的自主合作学习的意识，提高解决问题的能力。
教学重点：回忆巩固平面图形面积的计算公式及公式的推导过程，构建知识网络。
教学难点：理解面积计算本质是“每排面积单位的个数×排数”。
教学过程：
课前视频《面积的由来》
一、组织回顾、激活经验
1. 揭题
今天这节课，我们要研究的主题是《平面图形的面积总复习》。
这些都是我们学习过的平面图形，它们都有面积吗？具体说一说。
2. 复习面积的单位和计算方法
问题：什么样的图形有面积？
像这样封闭平面图形的大小，就是它们的面积。今天，我们重点复习长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形和圆的面积。瞧，这是客厅的2幅画和池塘中的一片荷叶，想知道它们的面积有多大，可以用什么方法？（算、格子图）
①算的方法
问：怎么算？需要测量什么？测量了图形中的关键线段或曲线的长度后，就可以利用面积计算公式计算它们的面积了。
②数格子法
师：你说的方格能让我们想到了一个个的面积单位（板书），有了面积单位就能测量这些图形的面积。我们学过哪些面积单位？
（平方厘米，平方分米，平方米，公顷，平方千米）。
他不仅说得很完整，而且还是按照从小到大的顺序来说的。有了面积单位，就可以度量图形的面积了。
师：这片荷叶，你们觉得用什么面积单位测量合适？（平方厘米、平方分米）
师：想象一下，如果这个不规则图形是咱们校园里的一块草坪，该选择什么面
积单位来测量呢？（平方米）
师：再想象一下，如果这个不规则图形是一个很大的人工湖，该选择什么面积单位来测量呢？（公顷）
师：看来，测量面积的大小，要选择合适的面积单位。
追问：长方形和圆能用数格子的方法求面积吗？
小结：不管是规则图形还是不规则图形，要测量面积的大小，都可以用数格子的方法；象长方形、圆形这些规则图形也可以先测量它们的长、宽、半径、直径或周长等关键线段的长度，利用面积计算公式计算它们的面积。
二、自主整理、建立结构
（1）回忆面积公式
你们能快速说出这些平面图形的面积计算公式吗？（贴图、公式）
师：在这些公式里，我们最先学习的是哪一个？为什么要先学习长方形的面积计算公式呢？先小组讨论，再来回答。
（2）学生分组讨论后，组织全班交流。
生 1：长方形的面积计算公式是基础，正方形、平行四边形、圆的面积计算公式都是在长方形的面积计算公式的基础上推导出来的，而三角形、梯形的面积计算公式又是在平行四边形的面积计算公式的基础上推导出来的。
生 2：这几种平面图形联系紧密，平行四边形、三角形、梯形和圆都能转化成长方形。
小结：（边说边调整位置、连线）
由长方形面积公式推导出正方形、平行四边形、圆的面积公式；
由平行四边形面积公式推导出三角形、梯形面积公式；
所以我们最先学习长方形的面积，它是最基础的、也是最重要的。
（3）面积公式推导
师：这些图形具体是怎么转化，进而推导出面积计算公式的呢？每个同学选一个图形和同桌说一说推导过程。
学生交流讨论。
1. 平行四边形面积推导
师：谁来说说平行四边形面积计算公式的推导过程？
2. 三角形面积推导
师：谁来说说三角形的面积计算公式的推导过程？
（把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高，平行四边形面积的一半就是三角形的面积，所以三角形的面积=底×高÷2）。
3.梯形面积推导
师：和三角形的面积计算公式推导过程相似的是哪个图形？（梯形的面积计算公式）
师：是的，在推导面积计算公式时，平行四边形和梯形都转化成了平行四边形（师拼）。
4.圆面积公式推导
圆在这些面积计算公式里是比较特殊的，谁来说一说圆的面积计算公式的推导过程？
生：先把圆切成两半，沿着圆的半径平均分成若干个近似的三角形，这些近似的三角形能拼成近似的长方形。长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于半径。因为长方形的面积等于长乘宽，所以圆的面积计算公式是 πr×r=πr2。
一起看转化过程（媒体演示）
师：我们在研究一种新图形的面积计算公式时，都是找到它与其他图形的联系（板书），把它转化成已经学过的图形。转化（板书）是一种非常重要的数学思想方法。
三、追本溯源、感悟本质
1.初步感悟面积计算本质（每排面积单位的个数×排数）
师：我们知道，这些图形的面积计算公式追根溯源都是来自于长方形的面积计算公式。那长方形的面积计算公式又是怎么推导出来的？（数格子）
（师拿走黄色长方形）是这样吗？
师：长方形的面积等于长乘宽，那这里的长表示的是什么？宽呢？
生 ：长表示的是每排面积单位的个数（媒体演示），宽表示的是排数（媒体演示）。
师：每排面积单位的个数×排数，算出的又是什么？
生 1：算出的是长方形的面积。
生 2：算出的是长方形里包含的面积单位的个数。
小结：用每排面积单位的个数×排数，（贴）算出长方形里包含的面积单位的个数，也就是长方形的面积。
师：那其他图形的面积是否也能用“每排面积单位的个数×排数”来表达呢？
师：我们先看正方形——正方形里哪条线段可以表示每排面积单位的个数？哪条线段可以表示排数呢？
生：正方形的一条边对应的是长方形的长，可以表示每排面积单位的个数，另一条边对应长方形的宽，表示排数。
师：这样看来，用“边长×边长”（板a×a）算出的是——(正方形的面积)。
指出：用a×a算出的是正方形里包含的面积单位的个数，也就是正方形的面积。
师：平行四边形呢？
生：平行四边形的底相当于长方形的长，可以表示每排面积单位的个数，高相当于长方形的宽，可以表示排数。
师：用“底a×高h”算出的是什么？（板a×h）
生：用“底×高”算出的就是平行四边形里包含的面积单位的个数，也就是平行四边形的面积(板：S平)。
2.深入感悟面积计算本质（关键线段的乘积）
师：瞧，正方形和平行四边形，都可以对照着长方形找到两条关键线段，一条线段表示每排面积单位的个数，另一条线段表示排数，这两条关键线段长度的乘积就是图形的面积。
（1）操作探究
那么，三角形、梯形、圆，也能直接转化成长方形吗？请看活动要求：
学生分组研究后，组织交流。
（2）展示交流
生：我们小组研究的是三角形——先在沿着三角形高的一半初剪开，再沿着高分成两个小三角形，把它们旋转到这个位置（边指边说），可以拼成一个长方形。三角形的底就是长方形的长，能表示每排面积单位的个数；三角形高的一半就是长方形的宽，可以表示排数。
师：用“底×高的一半”算出的又是什么呢？（板a×h÷2）
生：算出的是三角形里包含的面积单位的个数，也就是三角形的面积。（板S三）
师：其他小组研究的是什么图形？
生：我们小组研究的是梯形——先沿着梯形高的一半处剪开，再沿着高剪下一个小三角形和一个直角梯形，把它们旋转到这个位置（边指边说），可以拼成一个长方形。梯形的上底与下底的和就是长方形的长，表示每排面积单位的个数，高的一半就是长方形的宽，可以表示排数。
师：用“上下底的和×高的一半”算出的是什么？（板S梯=（a+b)×h÷2）
生 1：算出的是梯形里包含的面积单位的个数，也就是梯形的面积。
生 2：圆能转化成一个近似的长方形近似长方形的长等于圆的周长的一半，就是每排面积单位的个数，宽等于半径，就是排数。
师：这么说的话，用“πr×r”算出的是什么？
生：算出的是圆里面包含的面积单位的个数，也就是圆的面积。
师：把这些图形都转化成长方形，都能用“每排面积单位的个数×排数”计算它们的面积。其实，刚才我们研究的这个过程和方法，早在两千年前的《九章算术》中就有记载 。让我们一起来看看。
课件播放视频介绍相关内容：
师：中国的数学文化源远流长。视频中介绍了两种翻转方法，不仅可以向下，也可以向上。课后，大家可以再试一试。
师：让我们把目光聚焦到这儿——有人说，决定这些平面图形的面积大小的就是两条关键线段的长度。你同意吗？两条关键线段分别是什么？
生 1：第一条关键线段本质上就是转化后长方形的长，也就是每排面积单位的个数（演示）；第二条关键线段本质上就是转化后长方形的宽，也就是排数（演示）。
生 2：两条关键线段长度的乘积，就是图形里包含的面积单位的个数，也就是面积。
师：所以说，度量一个图形的面积，本质上就是看它里面包含了多少个面积单位。
四、适度拓展，丰富认识
1.
学生各自完成练习，再组织交流。
生：平行线之间的距离处处相等，所以平行四边形、三角形和梯形的高都是一样的，那就要考虑底。三角形和梯形的面积计算公式里都有除以 2，所以要使面积相等，三角形的底应该等于平行四边形底的 2 倍，梯形上下底的和也应该等于平行四边形底的 2 倍。
小结：当一条关键线段确定后，要使面积相等，只要使另一条关键线段也对应相等。确定平面图形面积大小，就是确定两条关键线段的长度。
2.计算多边形面积
书第90页第6（3）小题
在学习单上算一算
学生活动后，组织交流。
生 1：梯形面积—三角形面积
生 2：转化成大三角形。
在这两条平行线之间，距离处处相等。画一个三角形，移动，拉动过程中，底不变，高相等，所以面积不变。这个模型称为“拉窗帘”模型。
那么，这个图形的面积能不能用拉窗帘模型来解决？
小结：这些多边形都可以转化成学过的图形再计算面积。
五、收获
所有的图形之间建立起了联系，而且我们还知道了面积的本质就是面积单位的个数。学习就要找联系，抓本质，这才是我们学习的正确打开方式。