钉子板上的多边形

一、谈话导入

师：同学们，知道我们今天要研究什么吗？

生：钉子板上的多边形！

师：今天我们就一起研究多边形的面积与钉子数的关系。

二、新课教学

1、确定研究课题，研究方向

（1）揭示课题

师：为了方便研究，我们可以用点子图来代替钉子板。相邻两个钉子之间的距离是1厘米，则相邻的这样4枚钉子围成的正方形面积就是？（1平方厘米）

师：老师在钉子板上围了一个多边形，你能很快地就说出这个多边形的面积吗？（学生畏难。）老师能很快地算出它的面积17.5平方厘米，而且无论你在这块钉子板上围出多复杂的多边形，我都能很快地知道它的面积，你们想掌握这种神奇的本领吗？数学家华罗庚爷爷告诉我们：遇到数学难题的时候，我们要知难而……退！那就让我们从下面这几个简单的图形开始研究。

师：定义格点。在格点图上围一个多边形，再来一个、两个……在围的过程中定义边点、内点（板书：边点、内点）。

生：通过数格子，得出面积。板书：面积及相应数据

（数格法，分割法，添补法，公式法。）

师：同学们，请你们仔细观察这些图形的面积，请你们看一看，想一想，并大胆猜想，钉子板上多边形的面积会与什么有关呢？

预设1：我觉得多边形的面积跟所围图形边上点的数量有关。

预设2：我觉得多边形的面积跟所围图形内点的数量也有关。

（2）分因素研究

师：同学们是说边点和内点这两个因素都与多边形的面积有关系。既要看边上的点子数和面积的关系，又要考虑里边的点子数和面积的关系，两个因素要同时研究。这个是真难，你们有什么好办法吗？

生：一个一个分开来研究。

师：把和它有关系的2个因素分开来研究。真是个好办法。

2、逐步探索

（1）确定研究方向

师：那应该先研究哪一个呢？

生：多边形边上的点子数和面积的关系。

师：就按你们说的办。

或生：多边形内部的点子数和面积的关系。

师：同学们，你看见过钉子板上的多边形只是里面有钉子，边上没有的钉子的吗？所以，任何多边形，在围得的过程中，必须有边点，而内点却不必要。所以研究的时候，我们先从边点入手。

师：我们现在只研究边点，为了不受到内点的影响，此时围成图形的内点数应该是多少？

生：内点数是0颗，这样面积就一点都不受内点的影响了。

（2）探究边点的价值

①初步发现、感知规律

师：好的。下面我们围成一个最简单的图形。1个是点，2个连成一条线，3个点才能围成一个平面图形。

师：也就是说最基本的图形，必须3个点才围得起。然后我们可以逐步增加边点数量，去探索发现从第3个点开始，边点和图形面积的关系。

师：下面同学们在钉子板上围一围，数一数，并完成表格，相信聪明的你们通过自己的探索，一定会有所发现。（师巡视）

②全班合作，提炼规律

师：一起来校对数据（填表，大屏幕展示）。（内点数量一栏划去状态，是为了纯粹的只研究边点对面积的影响。）

师：比较数据，你们有什么发现？

预设1：我发现多边形边上的点子数每增加一颗，面积就增加1个0.5平方厘米。

预设2：我发现从第3个点子起，多边形边上的点子数每增加一颗，面积就增加1个0.5平方厘米。（此处应该有掌声！）

或者师：不少同学都有这个发现？（是）有同学能把这个发现叙述得更加完整、全面些么？

甚至于会有学生总结：

预设3：多边形面积=（边上点子数-2）×0.5

预设4：多边形面积= 边上点子数×0.5 - 1

师：通过观察数据不难发现。从第3个点子起，产生0.5平方厘米的面积。以后每增加一个边点，就会多0.5平方厘米的面积。也就是说一个边点带来面积0.5平方厘米。

③数形结合，验证规律

师：这个发现是否正确？我们一起来看黑板上的几个图形。

师：结论正确吗？（正确）谁来完整的表述？

生：边点数从第3个起，点子数每增加一个，面积就增加0.5平方厘米。

师：照此，边点数量为10，你能很快知道面积是多少？

生：4平方厘米。

师：怎么得到的？

生：（10-2）×0.5

师：-2是什么意思？为什么要-2？

生：因为能够产生面积，必须要第3个点起，前两个不能产生面积。

师：太棒了。那到底对不对呢？我们一起来验证一下。我们可以围成一个最简单的10个边点的图形。（大屏幕出示，数形结合验证）

师:同学们，我们前阵子已经学了用字母表示数，那在这里你会用字母式来表示规律吗？

师：用S表示图形的面积，n表示边点的数量，那么可以怎么写？

生：S=（n-2）×0.5    （师板书）

结语：通过刚才同学们的研究，我们发现多边形面积和边点数量之间的规律，并借助数形结合的方法，多次验证了规律的准确性。如果老师画了一个有很多个边点，没有内点的图形，注意，有很多很多个边点哦，你能快速地计算出围出来的面积吗？（能，边点数-2后，再乘以0.5）

（3）自主探究内点数与面积的关系

①现学活用，大胆猜测

师：同学们，多边形边点数量与面积的规律我们找到了，并进行了验证。这三个多边形边上点子数和由边点产生的面积分别是多少？（大屏幕回到一开始的3个图形）

生：①边点数量 6   产生面积  2

②边点数量 8   产生面积  3

③边点数量 8   产生面积  3（师板书）

师：事实上这3个多边形正确的面积应该是多少呢？为什么我们探究的规律不适用了呢？

生：多边形内点数量不为0。

师：哦，原来有内点存在。数一数，分别有几个内点？（生口述，师板书）

师：比较一下边点产生的面积和整个图形面积的差别，再观察一下我们刚刚数出来的图形内点数量，你有没有什么想说的？

生：里边有一个点，面积就增加1平方厘米。

生：我也发现，多边形里有一个内点，面积就增加1平方厘米；有两个内点，面积会增加2。

生：里面有几个内点，面积就增加几。

师：结合这边的数据，似乎有点道理。那么，内点对于多边形的面积有怎样的影响，想不想自己来研究一下？（想）

②有限引导，自主探究

师：同学们，我们刚才在研究边点对多边形面积的影响时，是怎样研究的呢？

生：保持内点数量为0，逐一增加边点数量。

师：为了研究材料不受边点数量的影响，接下来图形应该怎样改变？

生：保持边点数量不变，逐一增加内点数量。

师：你们准备如何在不增加边点的情况下，逐一增加内点的数量呢？一起动手操作一下，并完成表格。

预设1：我发现，边点数保持不变，内点数量增加，图形面积也增加。

预设2：我发现，边点数保持不变，内点每增加一个，图形面积也增加1平方厘米。

预设3：我发现，1个内点带来面积1平方厘米。（此处必须有掌声）

③数形结合，再次验证

师：一起看大屏幕（课件出示，有一个内点和原图比较）。

师：内点增加1，面积是增加1平方厘米吗？

生：（交流明确）

师：没问题。再增加一个内点（课件出示），面积呢？

生：又增加了1平方厘米。

师：那么，谁再来总结一下？

生：里面每增加一个点，面积就增加1平方厘米。

师：同学们，通过前面的探究，我们发现边点数量和内点数量对多边形面积产生影响的规律。下面，老师围出一个多边形。（投影展示）你能快速地告诉老师，这个多边形的面积吗？（学生开始数，大部分学生数的是边点、内点数量，少部分学生通过数格子得到面积）

生：12平方厘米。

师：你能说说你的计算过程？

生：（12-2）×0.5 +7=12平方厘米。边点产生的面积，加上内点产生的面积。

师：同学们，通过今天的学习，你会计算格点图上围成多边形面积的方法了吗？（会）谁来说说？

预设1：多边形面积=（边点数-2）×0.5 + 内点数

师：为什么要-2？

生：边点前两个不产生面积。

师：那如果我再用一个字母a表示内点的数量，如何表示？

生：S=（n-2）×0.5+a  （字母板书）

三、运用价值，拓展延伸

师：其实，我们今天研究的内容，在一百多年前，奥地利数学家皮克就曾提出并证明。

师：我国数学家也曾进行过深入的研究。

师：同学们，我们发现了这个规律就可以快速计算出钉子板上多边形的面积（大屏幕出示一个不规则多边形）

生：（11-2）×0.5 +11=15.5平方厘米

师：同学们，今天我们探究发现了格点图上围成的多边形面积和这些点之间的关系。发现规律很重要，但是懂得反思，掌握发现规律的方法价值更高！我们是怎样逐步发现这一规律的？

生：分析影响因素，控制变量探究发现，反复验证规律，总结概括

师：是的，比获得结果更重要的是有探究的方法。